При этом n — нечетное число. Для четного n закономерность, по всей видимости, была выведена уже позднее.
Есть сведения о том, что, изучая делимость чисел, Пифагор открыл дружественные и совершенные числа. Дружественные числа — пары чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого. Например: 220 и 284. Совершенные числа равны сумме собственных делителей: 6 (1 + 2 + 3 = 6), 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Об открытии Пифагором дружественных чисел пишет Ямвлих. А описание способа нахождения совершенных чисел есть и у Никомаха, и в «Началах» Евклида. В последнем источнике описание этого способа и доказательство его справедливости расположены в непосредственной близости от описания свойств четных и нечетных чисел (36-я глава 9-й книги). Таким образом, можно предположить, что они тоже восходят к Пифагору.
Как мы уже писали выше, ему приписывают и построение «космических тел» — правильных многогранников — тетраэдра, куба, додекаэдра, октаэдра и икосаэдра. То, что Пифагор не мог открыть все пять правильных многоугольников, достоверно известно. Два последних открыл Теэтет — ученый IV века до нашей эры. Некоторые источники утверждают, что додекаэдр построил Гиппас — математик-пифагореец V века до нашей эры. Таким образом, Пифагору может принадлежать только честь построения двух первых многогранников — тетраэдра и куба.
Также есть сведения о том, что Пифагор открыл и доказал иррациональность 
.
Но эта информация вызывает серьезные сомнения. Многие источники свидетельствуют о том, что иррациональные величины открыл Гиппас.
Роль Пифагора в становлении и развитии математики, естественно, заключается не только в тех открытиях, которые он сам совершил. Гиппас и другие математики — члены пифагорейских общин — продолжили дело своего учителя. Пользуясь дедуктивным методом, разработанным Фалесом и Пифагором, они заложили прочный фундамент теоретической математики. К сожалению, сведений о том, какие именно открытия принадлежат тому или иному ученому, практически нет. Только о Гиппасе известно, что он открыл способ построения додекаэдра, вписанного в шар, открыл иррациональные величины, работал над теорией пропорций и продолжил изыскания Пифагора в области математической теории музыки.
В целом же о масштабах достижений пифагорейских математиков можно судить только косвенно по развитию математики за тот период времени, когда ею занимались практически только пифагорейцы. Считается, что представителями школы Пифагора к середине V века до нашей эры были найдены все математические положения, изложенные в 2-й и 4-й книгах «Начал» Евклида. 2-я книга содержит основы геометрической алгебры, а 4-я посвящена правильным многоугольникам. К ним же восходит основная масса материала, изложенного в 1-й и 3-й книгах. 1-я книга содержит 23 определения геометрических понятий. Вот несколько примеров этих определений: точка — то, что не имеет частей; линия — длина без ширины; прямая — линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек; параллельные прямые — прямые, которые лежат в одной плоскости и не встречаются, сколь угодно продолженные. Дальше содержатся аксиомы и постулаты, рассматриваются свойства основных фигур планиметрии: треугольника, прямоугольника, параллелограмма[16], приводится теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. 3-я книга описывает свойства круга, его касательных и хорд. К этому же времени был в том или ином виде создан тот кусок 9-й книги «Начал», о котором мы писали выше, и часть 13-й книги, описывающая построения тетраэдра, куба и додекаэдра. Также есть основания предполагать, что пифагорейцам принадлежит авторство 7-й книги «Начал», представляющей собой введение в арифметику.
Кроме математики пифагорейцы занимались и астрономическими исследованиями. К сожалению, установить авторство тех или иных астрономических открытий и теорий того времени еще сложнее, чем математических. Поэтому мы ограничимся только перечислением тех достижений астрономии, которые предположительно восходят к Пифагору и его ближайшим последователям. Так, Пифагору приписывается авторство идеи о шарообразности Земли. Возможно, именно он установил, что Фосфор и Геспер, звезды, которые наблюдали утром и вечером, на самом деле являются Венерой, а также осуществил разделение Земли на зоны: арктическую, летнюю, экваториальную, зимнюю и антарктическую. В такой зональности отражено более раннее разделение на пояса небесной сферы. Так, Арктика получила свое название от созвездия Большой Медведицы.[17] Разделение на пояса небесной сферы тоже приписывается Пифагору. Считается, что он ввел и само слово «космос».