Трудности возникают исключительно в тех случаях, когда n — простое число. При n = 2 мы получаем простое число 11. Для n = 3, 5, 11 и 13 делители соответственно равны (3 × 37), (41 × 271), (21 649 × 513 239) и (53 × 79 × 265 371 653). В этой книге я привел уже делители для n = 7 и 17. Делители в случаях n = 19, 23 и 37 неизвестны, если они вообще имеются[32]. При n = 29 делителями будут (3191 × 16 763 × 43 037 × 62 003 × 77 843 × 839 397); при n = 31 одним из делителей будет 2791; при n = 41 два делителя имеют вид (83 × 1231).
Что же касается четных и, то следующая любопытная последовательность сомножителей, несомненно, заинтересует читателя. Числа в скобках — простые.
Или мы можем записать делитель иначе:
В приведенных выше двух таблицах n имеет вид 4m + 2. Когда n имеет вид 4m, делители можно записать следующим образом:
При n = 2 мы получаем простое число 11; при n = 3 делителями будут 3 × 37; при n = 6 они имеют вид 11 × 3 × 37 × 7 × 13; при n = 9 получается 32 × 37 × 333 667. Следовательно, мы знаем, что делителями при n = 18 будут 11 × 32 × 37 × 7 × 13 × 333 667, тогда как остающийся множитель — составной и может быть представлен в виде 19 × 52 579. Это показывает, как можно упростить работу в случае составного n.
48. Наименьшее число шагов равно 118. Я приведу решение полностью. Белые кружки двигаются по часовой стрелке, а черные — в противоположном направлении. Ниже приведены номера кружков, которые следует перемещать в указанном порядке. Сдвигаете ли вы просто кружок на соседнее место или перепрыгиваете через другой кружок, станет ясно из расположения кружков, ибо альтернативы не будет. Ходы, указанные в скобках, следует совершать пять раз подряд: 6, 7, 8, 6, 5, 4, 7, 8, 9, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 7, 8, 9, 10, 11 (6, 5, 4, 3, 2, 1), 6, 5, 4, 3, 2, 12 (7, 8, 9, 10, 11, 12), 7, 8, 9, 10, 11, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 12, 7, 8, 9, 10, 11, 6, 5, 4, 3, 2, 8, 9, 10, 11, 4, 3, 2, 10, 11, 2. Таким образом, при заданных условиях мы сделали 118 ходов; черные лягушки поменялись с белыми местами, причем номера 1 и 12 также поменялись местами.
В общем случае потребуется 3n2 + 2n — 2 ходов, где n равно числу лягушек каждого цвета. Закон, управляющий последовательностью ходов, легко обнаружить, рассматривая наиболее простые случаи, где n = 2, 3 и 4.
Если вместо кружков с номерами 1 и 12 должны поменяться местами кружки с номерами 6 и 7, то потребуется n2 + 4n + 2 ходов. Если мы придадим и значение 6, как в нашем случае, то получится 62 хода.
Хотя королевский шут и пообещал «потом все объяснить», записей, где бы говорилось, как он это сделал, не сохранилось. Поэтому я предложу читателю мою собственную точку зрения относительно вероятного решения предложенных загадок.
49. Шут «разделил веревку пополам» — это вовсе не означает, что он разрезал ее на две равные части. Без сомнения, он просто расплел жгуты, из которых она была свита, и разъединил их, так что у него получилось две веревки, равные по длине исходной, но вдвое тоньше ее. Связав их, он получил веревку, которая оказалась почти вдвое длиннее исходной и позволила ему спуститься вниз из окна темницы.
50. Как шут нашел во тьме путь из лабиринта? Он просто прикоснулся своей левой (или правой) рукой к стене и, не отрывая ее, двинулся вперед. Пунктир на рисунке поможет проследить его путь, если шут пошел из А влево. Если читатель попытается проложить аналогичный путь вправо, то он также добьется успеха. На самом деле эти два пути вместе покрывают все участки стен лабиринта, за исключением двух изолированных частей слева (одна из них U-, а другая Е-образная). Это правило приложимо к большинству лабиринтов и головоломных садов; однако если бы центральная часть оказалась окруженной изолированной стеной наподобие кольца со щелью, то шут все ходил бы и ходил вокруг этого кольца.
51. Головоломка состояла в том, чтобы найти английское слово из трех букв, по одной букве на каждом диске. В английском языке нет слов, составленных из одних согласных, а единственной гласной на всех дисках является Y. Ни одно английское слово из трех букв, начинающееся с Y, не содержит в качестве остальных букв одни согласные, а слова из трех букв, кончающиеся на Y (с двумя согласными), либо начинаются на S, либо в качестве второй буквы содержат Н, L или R. Но этих четырех согласных нет на дисках. Следовательно, Y должно стоять в середине, а единственное подобное слово, которое мне удалось обнаружить, — это PYX[34]. Так что именно оно и служит решением нашей головоломки,
32
О. Хопп сообщил мне, что его исследования случая n = 19 позволяют утверждать, что соответствующее число — простое. Он представил свое доказательство в Лондонское математическое общество, и специально назначенная комиссия признала доказательство верным и окончательным (Proceedings of Lond. Math. Soc. от 14 февраля 1918 г.).
33
Во избежание недоразумений следует отметить, что автор во всех приведенных здесь таблицах допускает небрежность в обозначениях. Так, запись n - 4 = (11) × (101) означает, что при n = 4 число вида 
разлагается на множители (11) х (101). —