2a. Пространство. Время. Движение

тогда

Этот множитель можно записать либо как p+iq, либо как рехр(iq). Запишем его в виде рехр(iq) и посмотрим, к чему это приведет. Внешняя сила — это действительная часть числа F₀ехр(iD)ехр(iwt), она равна F₀cos(wt+D). Уравнение (23.9) говорит нам, что отклик равен ; мы условились

писать R в виде R=rехр(iq); следовательно,

Вспомним (об этом уже говорилось), что физическое значение х, равное действительной части комплексного числа х, равно действительной части rF₀exp[i(q+D)]exp(iwt). Но r и F₀ — действительны, а действительная часть ехр[i(q+D+wt)] — это просто cos(wt+D+q). Таким образом,

x=rF₀cos(wt+D+q). (23.10)

Это значит, что амплитуда отклика равна амплитуде силы F, умноженной на коэффициент усиления r; мы нашли «размах» колебаний. Но это еще не все: видно, что х колеблется не в такт с силой; фаза силы равна D, а у x; она сдвинута на дополнительную величину q. Следовательно, r и q — это величина и фазовый сдвиг отклика.

Найдем теперь значение r. Квадрат модуля любого комплексного числа равен произведению этого числа на комплексно сопряженное, т. е.

Можно найти и фазовый угол q

значит,

Знак минус возник оттого, что tg(-q) =-tgq. Угол q отрицателен при всех значениях w, т. е. смещение х отстает по фазе от силы F.

На фиг. 23.2 показано, как изменяется r² при изменении частоты (r² для физика интереснее, чем r, потому что r² пропорционально квадрату амплитуды, а значит, и той энергии, которую передает осциллятору внешняя сила).

Фиг.23.2. График зависимости r² от w.

Очевидно, что если g мало, то основной член в (23.11) — это 1/(w²₀-w²)², и отклик стремится к бесконечности, если w приближается к w₀. Но эта «бесконечность» — не настоящая бесконечность, потому что даже если w=w₀, то все еще остается слагаемое 1/g²w². Зависимость сдвига фазы от частоты изображена на фиг. 23.3.

Фиг. 23.3. График зависимости q от w.

Иногда приходится иметь дело с формулой, немного отличающейся от (23.8); она тоже называется «резонансной» и, несмотря на некоторое отличие от (23.8), описывает те же самые явления. Дело в том, что если значение g очень мало, то наиболее интересная область резонансной кривой лежит около частоты w=w₀, а здесь при малых g формулу (23.8) с большой степенью точности можно заменить приближенной формулой. Поскольку w²₀-w²=(w₀-w)(w₀+w), то для w, очень близких к w₀, разность квадратов почти равна 2w₀(w₀-w), a gw можно заменить на gw₀. Значит, w²₀-w²+gw»2w₀(w₀-w+ig/2) и

Легко найти и r²:

А теперь решите сами такую задачу: с увеличением частоты значение r² сначала растет, достигает при w₀ максимума, а потом снова убывает. На каком расстоянии от w₀ расположены частоты, которым соответствуют значения r², вдвое меньшие максимального? Покажите, что при очень малом g эти точки отстоят друг от друга на расстояние Dw=g. Это значит, что резонанс делается более острым по мере того, как влияние трения становится все слабее и слабее.

Другой мерой ширины резонанса может служить «добротность» q=w_o/g (чем уже резонанс, тем больше Q); если Q=1000, то по шкале частот ширина резонансной кривой равна всего 0,001. Резонансной кривой на фиг. 23.2 соответствует Q=5.

Явление резонанса важно потому, что оно проявляется довольно часто; описанию некоторых видов этих проявлений мы посвятим остаток главы.

§ 3. Электрический резонанс

Простейшие и самые широкие технические применения резонанс нашел в электричестве. Имеется довольно много устройств, из которых собираются электрические цепи. Их часто называют пассивными элементами цепи, и бывают они трех типов, хотя в каждый элемент одного типа всегда примешано чуточку элементов других типов. Прежде чем подробно описать эти элементы, заметим, что наше представление о механическом осцилляторе как о массе, подвешенной к концу пружины, всего лишь приближение. В «массе» сосредоточена вовсе не вся масса системы: пружина тоже обладает какой-то массой, пружина тоже инерционна. Точно так же «пружина» не состоит из одной пружины, масса тоже немного упруга, а не абсолютно тверда, как это может показаться. Подпрыгивая вверх и вниз, она слегка изгибается под толчками пружины. Так же обстоит дело и в электричестве. Расположить все предметы по «элементам цепи» с чистыми, идеальными характеристиками можно только приближенно. Так как у нас нет времени обсуждать пределы таких приближений, мы просто предположим, что они допустимы.