Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусоидальным) решением: сначала к нему будут примешиваться переходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это будет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включению силы.
§ 2. Суперпозиция решений
Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предположим, что нам задана какая-нибудь внешняя сила Fa(например, периодическая сила с частотой w=wа, но наши выводы будут верны для любой зависимости силы от времени) и мы нашли движение, соответствующее этой силе (переходные движения можно учитывать или не учитывать, это неважно). Предположим, что мы решили еще одну задачу — нашли движение в случае действия силы Fb. После этого предположим, что кто-то вбежал в комнату и сказал: «На контрольной задают задачу с силой Fa+Fb. Что нам делать?» Конечно, мы решим эту задачу — ведь мы сразу обнаружим одно замечательное свойство: сумма решений хаи хb, получаемых в том случае, если брать силы по отдельности, будет решением новой задачи. Для этого надо только вспомнить о (25.3):
L(xa+xb)=L(xa)+L(xb)=Fa(t)+Fb(t). (25.8)
Это пример того, что называют принципом суперпозиции для линейных систем, и это очень важная вещь. Дело обстоит так: если мы сможем представить сложную силу в виде суммы нескольких более простых сил и сможем решить уравнение для каждой силы в отдельности, то мы сможем решить и первоначальное уравнение, потому что для этого надо просто объединить куски решения так же, как мы объединяли отдельные силы, чтобы получить полную силу (фиг. 25.1).
Фиг. 25.1. Пример принципа суперпозиции для линейных систем.
Еще один пример принципа суперпозиции. В гл. 12 (вып. 1) говорилось об одном из важнейших фактов, вытекающих из законов электричества. Если нам задано распределение зарядов qa, можно найти электрическое поле Ев, порождаемое этими зарядами в точке Р. Другое распределение зарядов qbпорождает в этой же точке поле Eb. Оба эти распределения, действуя вместе, породят в точке Р поле Е, которое представляет собой сумму полей Еа и Еb. Иначе говоря, поле, соответствующее совокупности многих зарядов,— это векторная сумма полей, соответствующих отдельным зарядам. Аналогия с предыдущим примером бросается в глаза: ведь если мы знаем результат действия отдельных сил, то отклик на силу, являющуюся суммой этих сил, будет суммой отдельных откликов.
Фиг. 25.2. Принцип суперпозиции в электростатике.
Причина справедливости принципа суперпозиции в электричестве состоит в том, что основные законы электричества, определяющие электрическое поле (уравнения Максвелле), — это линейные дифференциальные уравнения, обладающие свойством (25.3). Силам в этих уравнениях соответствуют заряды, порождающие электрическое поле, а уравнения, определяющие электрическое поле по заданным зарядам,— линейные уравнения.
Чтобы придумать еще один пример принципа суперпозиции, спросите себя, как вам удается настроить свой радиоприемник на определенную радиостанцию, хотя одновременно работает очень много станций. Сигналы радиостанций — это колеблющиеся электрические поля очень высокой частоты, действующие на антенну радиоприемника. Амплитуда этих колебаний, правда, меняется, их модулирует голос диктора, но скорость этих изменений очень мала и об этом можно пока забыть. Когда вы слышите: «Станция работает на частоте 780 килогерц», это значит, что частота излучаемого антенной радиостанции электромагнитного поля равна 780 000 колебаний в секунду и это поле с точно такой же частотой раскачивает электроны в антенне вашего приемника. Но ведь в то же самое время поблизости может работать и другая радиостанция на другой частоте, скажем на частоте 550 кгц. Эта станция тоже раскачивает электроны вашей антенны. Как же отделяются сигналы, поступающие в приемник с частотой 780 кгц, от сигналов, имеющих частоту 550 кгц? Ведь вы же не слышали голоса обоих дикторов одновременно.