Часть первая. ДИАЛЕКТИКА В НАУКАХ О НЕЖИВОЙ ПРИРОДЕ
Глава I. ДИАЛЕКТИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОЗНАНИЯ
1. Объект и предмет математики
Процесс отражения действительности математикой представляет собой яркий пример диалектики познания. Пожалуй, ни в одной другой науке нет столь парадоксального сочетания взаимоисключающих характеристик процесса познания, как в математике, где уживаются рядом интуитивная очевидность и логические доказательства, наглядность и крайняя отвлеченность, независимость от опыта и многообразные практические приложения. Эти особенности математики привлекают к ней пристальное внимание философов, чьи мнения о математике варьируются от признания ее идеалом науки вообще и образцом для подражания (Р. Декарт, Т. Гоббс, И. Кант) до полного отказа признать за нею какое-либо объективное значение (Д. Юм, Л. Виттгенштейн, Б. Рассел)[15].
Несмотря на большое число различных школ и направлений в современной буржуазной философии математики, в ней отсутствует сколько-нибудь убедительное объяснение процесса математического познания в целом. Абсолютизируя какую-либо одну из особенностей математического знания, они создают тем самым искаженное представление о целом. Лишь с позиций диалектического материализма, руководствуясь марксистско-ленинским пониманием познания как активного, творческого отражения объективного мира человеческим сознанием, можно создать целостное представление о диалектике математического познания во всей ее сложности и противоречивости и тем самым дать математике философское обоснование. Основной вопрос математики тесно связан с основным вопросом философии. Объекты исследования математики составляют определенные отношения в объективном мире, математические построения, которые могут быть очень удаленными от этого мира и создавать видимость независимости первых от второго. Этот мировоззренческий вопрос, разделяющий материализм и идеализм в философии математики, следует отличать от методологической проблемы о предмете математики, заключающейся в определении основного содержания математики как науки, т. е. системы средств, способов и результатов познания ею своего объекта.
Различение объекта и предмета математического познания носит принципиальный характер. Решение проблемы об объекте математики требует ответа на вопрос: является ли математическое знание отражением объективного мира, существующего до, вне и независимо от познающего субъекта, или же оно служит формой самопознания субъекта? Следовательно, вопрос об объекте математического познания представляет собой конкретизацию основного вопроса философии применительно к математике. Определение объекта математики должно быть дано в категориях диалектического материализма. Наоборот, решая вопрос о предмете математики, мы не выходим за пределы диалектики процесса познания, определение предмета математики дается не посредством философских категорий, а с помощью общенаучных или специальных математических понятий[16].
Объектом математического познания всегда были различные типы единства количественной и качественной определенности, бесконечного и конечного, непрерывного и прерывного, структурного многообразия мира и его элементов. Предмет ее меняется в зависимости от уровня развития самой математики, ее методов познания, развития смежных с математикой наук, общественно-исторической практики. Никакая система понятий, будучи исторически конкретной и вследствие этого неполной и ограниченной системой, не может абсолютно отобразить всего содержания соответствующего свойства объективного мира, хотя в процессе исторического развития науки происходит уточнение и углубление знаний, познаются все более глубокие и существенные черты этого содержания. Следовательно, на каждом данном этапе развития математики ее предмет находится в определенном соответствии с ее объектом, но не совпадает с ним.
Исторически и логически первичными свойствами объективного мира, которые стали изучаться математикой, были различные отношения меры — количественно определенного качества или качественно определенного количества, с которыми люди изначально сталкивались в практической деятельности[17]. Математика начинала с изучения конкретных систем объектов, поэтому «качественная окраска» исследуемых количественных отношений мешала разглядеть изоморфизм отношений различных предметных областей, понять эти отношения как частные проявления некоторой абстрактной и общей структуры. Так, структура группы как математического конструкта в предельно общей форме оставалась скрытой за многими частными законами композиции, свойствами подстановок на множествах, сложением и умножением чисел, преобразованиями векторов в пространстве. В XVII–XIX вв. лишь некоторые выдающиеся мыслители видели в математике не сумму отдельных дисциплин, а общую науку об отношениях[18]. Даже Гегель воспринимал математику как науку о величинах и числах, правда отмечая ее абстрактно-количественный характер как метафизическую ограниченность, свидетельство отрыва количества от качества. «…Математика природы, если она хочет быть достойной имени науки, по существу своему должна быть наукой о мерах»[19], — подчеркивал он.
15
По философским проблемам математики см.: Акперов М. С. Роль математики в познании. М., 1967; Киселева Н. А. Математика и действительность. М., 1967; Рузавин Г. И. О природе математического знания. М., 1968; Мариничев Э. А. Математика — язык науки. Л., 1969; Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969; Нысанбаев А. Н., Шляхин Г. Г. Развитие познания и математика. Алма-Ата, 1971; Федоров И. Г. Некоторые методологические проблемы математики. М., 1975; Жуков Н. И. Философские проблемы математики. Минск, 1977; Кедровский О. И. Методологические проблемы развития математического познания. Киев, 1977; Шляхин Г. Г Математика и объективная реальность. Ростов-на-Дону. 1977.
16
См. Кедровский О. И. Методологические проблемы развития математического познания, с. 167.
17
Люди в своей повседневной практике никогда не имели дела с «чистым количеством», а всегда с количеством определенного качества. Это обстоятельство отразилось и в языке. До сих пор во многих языках пользуются различными числительными для выражения одного и того же количества, если речь идет о вещах различного качества (ср. русское: «четверо детей», но «четыре комнаты»). Мера как характеристика вещи была известна людям раньше, чем ее количественный момент. Путь познания идет не от количества к качеству и мере, а от качества к мере и количеству (см. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972).
18
К числу их принадлежат Р. Декарт, Г. В. Лейбниц, Дж. Буль. «К области математики, — писал Декарт, — относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое» (Антология мировой философии, т. 2. М., 1970, с. 277). Позже идею «универсальной математики» развивал Лейбниц. В XIX в. Дж. Буль, открывший изоморфизм алгебраических и логических структур, утверждал, что «в природе математики не заложена необходимость заниматься идеями числа и величины… Математика трактует об операциях, рассматриваемых самостоятельно, вне зависимости от конкретных предметов, к которым они могли бы применяться» (Boole G. Collected Loqical Works, v. 2. Chicaqo — London, 1916, p. 13).