«Умозрительное» происхождение математических понятий не означает, что они суть «продукты чистого мышления». При создании конструктов «строительный материал» берется из уже имеющегося знания, но из него создаются новые сочетания, которых не было в наличном знании. Таковы понятия дифференциала и интеграла, мнимые и комплексные числа, бесконечно удаленные точки и прямые в проективной геометрии и т. п. Все понятия создаются людьми. Существенно, однако, то, что в содержании научных понятий определяющая роль принадлежит объективно истинному содержанию, а конструктивный элемент играет подчиненную роль. В содержании же художественных образов это соотношение может быть прямо противоположным.
Представители современного математического эмпиризма рассматривают математику уже не как эмпирическую, а как «метаэмпирическую» науку. Это позволяет существенно расширить круг математических понятий, обосновываемых «эмпирически» в этом смысле слова. Они утверждают, например, что «математика есть наука о формальных методах», т. е. исследует не содержание, а только форму математического знания, законы построения искусственного языка[34]. Но такой подход не позволяет решить вопроса об объективных основаниях математики, так как хотя язык и состоит из материальных элементов, но они созданы людьми и не существуют независимо от них. Современный эмпиризм игнорирует интерпретации формальных систем, т. е. абстрактные объекты.
Такой подход способствует распространению мнения об «информационной пустоте математики», о «конвенциональном характере» ее положений. В русле неоэмпиризма (или формализма) предпринимались попытки формального обоснования математики, которое должно было быть достигнуто без обращения к смысловой стороне математических выражений[35]. Таким образом, «живая» математика здесь подменялась мертвой схемой. Между тем математическому мышлению свойственна диалектика, ему в высшей степени присуща всесторонняя, универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей[36], проистекающая из связи абстрактного понятийного и конкретно-образного содержания. Искусственные языки с их жестко фиксированной семантикой не в состоянии отразить это богатое содержание. Поэтому формальными средствами нельзя решить проблему обоснования математики. Математическому мышлению недостаточно логики формальной, ему нужна логика диалектическая.
2. Диалектика количественных и качественных отношений и математическое познание
На каждом историческом этапе развития математика, как и любая другая наука, представляет собой определенный конкретный и в известной степени фиксированный способ и результат познания своего объекта. Однако содержание знания об объекте определяется не только им самим, но и особенностями методов познания. Последние же зависят от целого ряда факторов — социальных, экономических, технических, от уровня развития смежных наук, от мировоззрения. Нередко изменение содержания математического знания и способов его получения истолковывается как изменение самого объекта науки. В этом случае объект отождествляется с метаобъектом и оказывается проекцией сложившихся к данному моменту представлений об объекте (как правило, неполных, относительных, ограниченных). «Недостатком такого принципа, — подчеркивает Г. Г. Шляхин, — является подмена реальной действительности ее теоретизированной частью»[37]. Между тем ни в какой момент развития математического познания его объект не исчерпывается имеющимися в наличии знаниями о нем. Абсолютизация познанного, как и абсолютизация еще не познанного, одинаково неприемлемы для диалектического мышления. Обе точки зрения неспособны объяснить процесс непрестанного развития математики, расширения математического знания.
35
Хотя Д. Гильберт не был формалистом, но его программа обоснования математики была формалистической, ибо сводилась к доказательству некоторого синтаксического свойства формализованной математики.
37
Шляхин Г. Г. Математика и объективная реальность, с. 110. О. И. Кедровский также считает недопустимой абсолютизацию «роли математически выразимого количества и отождествления последнего с философской категорией количества» (Кедровский О. И. Методологические проблемы развития математического познания, с. 158).