Характерные для современного позитивизма оценки математики как «информационно пустой», «онтологически нейтральной», «тавтологичной», «чисто вербального знания» также основаны на абсолютизации действительно присущего этой науке момента — неопределенности смыслового (семантического) содержания ряда ее фундаментальных терминов[47]. Между тем законы математики совместимы не с любой онтологической конструкцией. Ведь даже логика содержит некоторые «онтологические обязательства»[48], т. е. предполагает существование объектов с определенными свойствами.
В еще большей степени это присуще математике. Конечно, известная неопределенность в отношении конкретного вида объектов всегда остается, поскольку математика не различает между «фактическим» положением дел и возможными, но неосуществленными ситуациями. Она отвлекается от того обстоятельства, что возможности, совместимые логически, могут быть несовместимыми «физически», от того, что все возможности вообще не могут осуществиться. Если физика различает реальные и абстрактные возможности, то для математики в области возможного нет качественных градаций.
Эта особенность математики позволяет ей быть «наукой о бесконечном». Способность ее отображать, хотя и в абстрактной и односторонней форме, количественный аспект бесконечности как атрибута объективного мира заслуживает специального анализа в плане выявления диалектики математического познания. В диалектическом материализме бесконечное есть противоположность конечного и вместе с тем его момент. Значение идеи бесконечности для научного познания определяется тем, что без нее невозможно познание конечного. «…По существу, — говорит Ф. Энгельс, — мы можем познавать только бесконечное»[49]. Действительно, всякое общее утверждение ориентировано на потенциально бесконечный ряд явлений.
В математике понятие бесконечности изучается главным образом теорией множеств. Начало этим исследованиям было положено Г. Кантором, которому удалось объединить понятия актуальной и потенциальной бесконечности в едином понятии предела бесконечной последовательности, рассматриваемого как начало новой последовательности так называемых «трансфинитных» чисел[50].
Современная математика исследует преимущественно лишь количественный аспект реальной бесконечности. Встречающиеся на этом пути трудности показывают, что «бесконечное количество» качественно отличается от конечного количества. «Бесконечное количество» в отличие от конечного не может быть ни увеличено, ни уменьшено, для него не выполняется принцип «целое больше части». Как показал Т. Сколем, «кардинальное число» бесконечного множества (характеризующее «число элементов» множества) не является абсолютной характеристикой для конечного множества, а зависит от способа рассмотрения. В этом отражается сложная количественно-качественная природа бесконечности, для адекватного отображения которой в современной математике, по-видимому, еще не разработана подходящая система понятий[51]. Тем не менее исследование понятия бесконечности в математике, особенно в связи с обнаружением парадоксов теории множеств, привело к значительным результатам научного и методологического характера.
Таким образом, анализ некоторых диалектико-материалистических проблем математического познания свидетельствует о том, что для его понимания необходимо опираться на основные принципы теории отражения: принцип активности субъекта, принцип иерархичности процесса и результата отражения, принцип единства онтологии, гносеологии и методологии[52]. Активный характер отражения в математическом познании проявляется во взаимодействии конструктивных и неконструктивных элементов знания, иерархичность отражения — в использовании метаобъекта и метаисследования как средств познания объективной реальности, единство объективной и субъективной диалектики — в том, что познание объекта математики осуществляется посредством исследования не только его самого, но и форм деятельности математиков в процессе исследования.
47
Bar-Hillel I. The Irrelevance of Ontology to Mathematics. — Problems in the Philosophy of Mathematics, v. 1. Amsterdam, 1967. Подобные взгляды встречаются иногда и в нашей литературе. Так, утверждается, что математика как наука «не имеет определенного предмета», что «будет анахронизмом связывать определение математики как науки с какой-то областью действительности или с определенными свойствами действительности» {Беляев Е. А. и др. Некоторые особенности развития математического знания. М., 1975, с. 14).
50
См. Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях. — Новые идеи в математике, сб. 6. СПб., 1914, с. 55.