Фиг. 34.2. Геометрический способ определения x'(t) из уравнения (34.5.).
Смысл приведенной процедуры состоит в том, что горизонтальное расстояние в правой части фиг. 34.2 в отличие от левой оказывается равным не z, a z+cт, т. е. ct. Мы нашли, таким образом, график изменения х' (и у') в зависимости от t\ Осталось только определить ускорение на кривой, т. е. продифференцировать ее дважды. Отсюда окончательно заключаем: чтобы найти электрическое поле движущегося заряда, нужно взять траекторию движения и заставить двигаться каждую ее точку от точки наблюдения со скоростью с; полученная кривая дает положения х' и у' как функцию t. Ускорение на этой кривой определит электрическое поле в зависимости от t. Можно, если угодно, представить себе, что вся эта «твердая» кривая движется вперед со скоростью с сквозь плоскость зрения, так что точка пересечения с плоскостью зрения имеет координаты х' и у'. Ускорение этой точки и определит электрическое поле! Полученное решение будет не менее точно, чем формула, из которой мы исходили,— это просто ее геометрическое представление.
Если источник совершает относительно медленное движение, как, например, медленно колеблющийся вверх и вниз осциллятор, то при растягивании этого движения со скоростью света получится простая синусоидальная кривая. Отсюда можно получить формулу для поля, создаваемого осциллирующим зарядом, которую мы видели неоднократно.
Более интересный пример — это электрон, движущийся по окружности со скоростью, близкой к скорости света. Если наблюдатель находится в плоскости движения электрона, запаздывающее движение x'(t) имеет для него вид, изображенный на фиг. 34.3. Что это за кривая? Если мы представим себе радиус-вектор, проведенный из центра окружности к заряду, и если мы продолжим эти радиальные линии чуть-чуть за заряд (совсем капельку, если заряд движется быстро), то мы придем к точке, которая движется со скоростью света с. Поэтому результирующее движение есть движение заряда, прикрепленного к колесу, которое катится назад (без скольжения) со скоростью с;
Фиг. 34.3. Кривая зависимости х' (t) для частицы, вращающейся по окружности с постоянной скоростью v = 0,94c.
это дает нам кривую, очень похожую на циклоиду, называется она гипоциклоидой.
Когда заряд движется по окружности со скоростью, близкой к скорости света, пики на кривой становятся очень острыми, а при скорости, равной скорости света, они были бы бесконечно острыми. «Бесконечно острые» пики! Очень интересно; это значит, что вблизи такого пика вторая производная очень велика. Один раз в течение каждого периода возникает мощный и резкий импульс электрического поля. Ничего похожего в случае нерелятивистского движения не бывает, там электрическое поле в течение всего периода принимает значения примерно одного и того же порядка. Вместо этого в случае больших скоростей там возникают резкие импульсы электрического поля с интервалом времени 1/Т0, где Т0 — период обращения. Это сильное электрическое поле излучается в узком конусе около направления движения заряда. Когда же заряд удаляется от точки наблюдения Р, производная кривой мала и излучение в направлении Р очень слабое.
§ 3 Синхротроннoe излyчeнue
В синхротроне электроны движутся по окружности с большими скоростями, близкими к скорости света, и описанное излучение можно увидеть как настоящий свет! Обсудим это явление более подробно.
Электроны в синхротроне движутся по окружности в однородном магнитном поле. Давайте установим прежде всего, почему они движутся по окружности. Согласно уравнению (12.10), сила, действующая на частицу в магнитном поле, равна
F = q·vXB (34.6)
и направлена перпендикулярно полю и скорости. Как обычно, сила равна скорости изменения импульса со временем. Если поле направлено вверх от плоскости страницы, импульс и сила
Фиг. 34.4. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле по окружности (или по спирали).
располагаются так, как показано на фиг. 34.4. Поскольку сила перпендикулярна скорости, кинетическая энергия, а значит, и абсолютная величина скорости остаются постоянными. Действие магнитного поля сводится только к изменению направления движения. За малый промежуток времени Dt вектор импульса изменится на величину Dp = F·Dt, направленную перпендикулярно импульсу, т. е. вектор импульса р повернется на угол Dq = Dp/р =qvBDt/p, так как |F| = qv·|В|. Но за то же время электрон пройдет расстояние Ds = vDt. Две прямые, АВ и CD, очевидно, пересекутся в точке О, для которой ОА=ОС=R, причем Ds = RDq. Комбинируя написанные формулы, мы получаем RDq/Dt=Rw=v=qvBR/p, откуда