Но решению старой философской проблемы, о которой мы упомянули, ныне способствует и другое обстоятельство. В наше время на недосягаемую высоту поднялись не только техника экспериментирования и искусство возведения здания теоретической физики, но и их дополнение — логическая наука — достигло существенного успеха. Ныне существует общий метод рассмотрения естественнонаучных вопросов, который во всех случаях облегчает уточнение постановки проблемы и способствует подготовке ее решения. Я имею в виду аксиоматический метод.
Возникает вопрос: какое отношение имеет познание природы к аксиоматике, о которой сегодня говорится так много? Основная идея заключается в том, чтобы сформулировать в обширных областях науки немногочисленные утверждения, называемые аксиомами, чтобы затем чисто логическим путем возвести все здание теории. Но значение аксиоматики отнюдь нс исчерпывается этим замечанием. Лучше всего суть аксиоматического метода нам позволят понять примеры. Древнейший и наиболее известный Пример аксиоматического метода — геометрия Евклида. Но я хотел бы кратко пояснить суть аксиоматического метода на весьма ярком примере из современной биологии.
Дрозофила — это крохотная плодовая мушка, но наш интерес к ней велик; она стала объектом обширнейших, кропотливейших и успешнейших экспериментов по селекции. Обычно это мушка серого цвета, красноглазая, без пятен, с закругленными длинными крыльями. Но встречаются также желтые, а не серые мушки с белыми, а не красными глазами и т. д. Обычно пять перечисленных выше отличительных признаков взаимосвязаны, то есть если мушка желтая, то у нее к тому же белые глаза, она пятнистая, ее крылья имеют вырезы и скошены. Если у мушки косые крылья, то она к тому же желтая, имеет белые глаза и т. д. При подходящих скрещиваниях у потомства появляются в небольшом числе отклонения от этих обычных комбинаций признаков, причем в постоянной пропорции. Характеризующие такие отклонения числа находятся экспериментально. Они удовлетворяют евклидовой аксиоме конгруэнтности и аксиоме о геометрическом понятии «между», поэтому законы наследственности выступают как одно из приложений аксиом линейной конгруэнтности, то есть элементарных геометрических теорем об отрезках, откладываемых на прямой, причем с такой удивительной точностью, о которой нельзя было бы мечтать в самых смелых фантазиях.
А вот еще один пример аксиоматического метода, заимствованный мной из совершенно другой области.
Мы привыкли к тому, что в наших теоретических науках используются формальные процессы мышления и абстрактные методы. Аксиоматический метод принадлежит логике. При слове «логика» у многих возникает представление о предмете очень скучном и трудном. Но сегодня логическая наука легко понимаема и очень интересна. Например, стало понятно, что и в повседневной жизни используются методы и возникают понятия, требующие высокой степени абстракции, понимаемые только с помощью неосознанного, интуитивного применения аксиоматических методов. Рассмотрим, например, общий процесс отрицания и особенно понятие «бесконечность». Что касается этого понятия, то необходимо уяснить, что бесконечность лишена наглядного смысла и без более подробного исследования лишена всякого смысла, так как существует только то, что конечно. Не существует бесконечно большой скорости, равно как и бесконечно быстро распространяющейся силы или действия. К тому же действие по своей природе дискретно и существует только квантами. Не существует ничего континуального, сплошного, бесконечно делимого. Даже свет обладает корпускулярной, атомистической структурой, как и действие.
Наша Вселенная, по моему глубокому убеждению, обладает лишь конечной протяженностью, и астрономы когда-нибудь сообщат нам, на сколько километров простирается мировое пространство в длину, высоту и ширину. И хотя в реальных случаях встречаются очень большие числа, например расстояния до звезд в километрах, или число потенциально возможных существенно различных шахматных партий, тем не менее нескончаемость, или бесконечность, поскольку она представляет собой отрицание того состояния, которое доминирует повсюду, есть чудовищная абстракция, которая реализуется только путем сознательного или несознательного применения аксиоматических методов. Подобная точка зрения на бесконечность, которую я обосновал подробными исследованиями, позволила решить ряд принципиальных вопросов, в частности кантовские антиномии о пространстве и о бесконечной делимости становятся беспредметными, и следовательно, разрешаются возникавшие в связи с антиномиями трудности .
Обратимся теперь к интересующей нас проблеме взаимосвязи природы и мышления. Мы хотели бы обсудить три главные точки зрения. Первая из них связана с только что упоминавшейся проблемой бесконечности. Мы видим, что бесконечность нигде не реализуется; она не существует в природе и недопустима без особых оговорок как основа нашего мышления. Я усматриваю в этом важный параллелизм природы и мышления, основополагающее совпадение опыта и теории.
Мы воспринимаем также еще один параллелизм: наше мышление исходит из единства и стремится создать единство; мы наблюдаем единство вещества и материи и повсюду констатируем единство законов природы. При этом природа весьма охотно идет нам навстречу в наших исследованиях, как бы с готовностью раскрывая свои тайны. Сильно разреженное распределение массы в мировом пространстве способствовало открытию и уточнению закона всемирного тяготения Ньютона. Несмотря на огромную величину скорости света, Майкельсон сумел достоверно установить, что при достаточно быстром обращении Земли вокруг Солнца не выполняется закон сложения скоростей ньютоновской механики. Меркурий, чтобы доставить нам удовольствие, движется так, что его перигелий прецессирует, и, измеряя величину прецессии, мы получаем возможность проверить теорию Эйнштейна. Луч света от неподвижных звезд проходит вблизи Солнца, что позволяет нам наблюдать его искривление.
Но еще больше обращает на себя внимание то, что мы в несколько ином смысле, чем Лейбниц, называем предустановленной гармонией, которая является воплощением и реализацией математической мысли. Старыми примерами предустановленной гармонии служат конические сечения, ставшие предметом изучения задолго до того, как мы догадались, что планеты и даже электроны движутся по эллиптическим орбитам. Но самым грандиозным и чудеснейшим примером предустановленной гармонии может служить знаменитая теория относительности Эйнштейна.
Такое совпадение между природой и мышлением, экспериментом и теорией можно понять только в том случае, если принять во внимание формальный элемент и связанный с ним механизм с обеих сторон — природы и нашего разума. Математический процесс элиминации, или исключения приводит, как нам кажется, к точкам покоя и остановкам, в которых пребывают как тела в реальном мире, так и идеи в мире духовном, и тем самым становятся доступными контролю и сравнению.
Между тем даже эта предустановленная гармония отнюдь не исчерпывает взаимосвязи между природой и мышлением и не открывает глубочайшие тайны нашей проблемы.
1. Давид Гильберт, 1886 год
2. Франц Гильберт, сын Давида и Кэт Гильбертов
3. Давид Гильберт, 1900 год
4. Адольф Гурвиц. Кёнигсберг (Калининград)
5. Давид Гильберт, 1912 год
6. Давид Гильберт и Кэт Мерош, 1892 год
7. Отто Гильберт, отец Давида Гильберта. Студент университета, 1850 год
8. Герман Минковский после получения Большой премии Парижской Академии
9. Кёнигсберг