4a. Кинетика. Теплота. Звук

Р=Р₀+Р_u, r = r₀+r_u, (47.2)

можно считать, что изменение давления P_uочень мало по сравнению с P₀, а изменение плотности r_u очень мало по сравнению с r₀. Тогда

P₀+Р_u=f(r₀+r_u)=f(r₀)+ r_uf'(r₀), (47.3)

где P₀ = f(r₀) и f'(r₀) — производная от f(r), взятая при значении r =r₀. Второе равенство здесь возможно только потому, что r_u очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление P_uпропорционально избыточной плотности r_u; коэффициент пропорциональности обозначается через к:

(II) Р_u=cr_u, где c=f'(r₀)=(dP/dr)₀. (47.4)

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержание свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину c(х,t), так что его новое положение есть x+c(x,t), как показано на фиг. 47.3.

Фиг. 47.3. Смещение воздуха в точке х есть c (х,t), а в точке х+Dx равно c(x+Dx,t).

Первоначальный объем, приходящийся на единицу площади в плоской звуковой волне, есть Dx, а окончательный объем равен Dx+c(x+Dx,t)-c(x,t).

Далее, положение соседнего элемента объема есть х+Dx, и его смещенное положение есть х+Dx+c(х+Dx,t). Теперь можно найти изменение плотности. Поскольку мы рассматриваем плоскую волну, удобно взять единичную площадку, перпендикулярную оси х, т. е. направлению распространения волны. Количество воздуха, приходящееся на единичную площадку в интервале Dx, есть r₀Dx, где r₀ — невозмущенная, или равновесная, плотность воздуха. Эта порция воздуха, смещенная звуковой волной, будет находиться теперь между x+c (x,t) и x+Dх+c (х+Dx,t), причем количество воздуха в этом интервале то же самое, что в интервале Dx до прихода волны. Если через r обозначить новую плотность, то

r₀Dx=r [x+Dx+c (x+Dx,t)-x-c (x,t)]. (47.5)

Поскольку Dx мало, можно написать c (x+Dx,t)-c (x,t)=(дc/дx)Dx. Здесь уже появляется частная производная, потому что c зависит и от x, и от времени. Наше уравнение принимает вид

r₀Dx =r ((дc/дx) Dx +Dx), (47.6)

или

r₀=(r₀+r_u)дc/дx+r₀+r_u. (47.7)

Но в звуковой волне все изменения малы, так что r_u мало, c мало и дc/дх тоже мало. Поэтому в уравнении, которое мы только что написали,

r_u=-r₀(дc/дx)- r_u(дc/дx), (47.8)

можно пренебречь r_u(дc/дх) по сравнению с r₀(дc/дх). Так мы приходим к соотношению, которое требовалось согласно свойству I:

(I) r_u=-r₀дc/дx. (47.9)

Именно такой вид уравнения можно было ожидать из чисто физических соображений. Если смещение различно для разных х, плотность будет изменяться. Знак тоже правильный: если смещение c растет с ростом х, так что воздух расширяется, плотность должна уменьшаться.

Теперь нам нужно найти третье уравнение — уравнение движения, производимого избытком давления. Зная соотношение между силой и давлением, можно получить уравнение движения. Возьмем объем воздуха толщиной Dx и с единичной площадью грани, перпендикулярной х, тогда масса воздуха в этом объеме есть r₀Dx, а ускорение воздуха есть д²c/дt², так что масса, умноженная на ускорение для этого слоя, есть r₀Dx(д²c/дt²). (Если Dx; мало, то безразлично, где брать ускорение — на краю слоя или где-нибудь посредине.) Сила, действующая на единичную площадку нашего слоя, перпендикулярную оси x, должна быть равна r₀Dx(д²хc/дt²). В точке х мы имеем силу Р(х,t), действующую на единицу площади в направлении +х, а в точке x+Dx; возникает сила в обратном направлении, по величине равная Р(x;+ Dx, t) (фиг. 47.4):