Глава 50
ГАРМОНИКИ
§ 1. Музыкальные звуки
§ 2. Ряд Фурье
§ 3. Качество и гармония
§ 4. Коэффициент Фурье
§ 5. Теорема об энергии
§ 6. Нелинейная реакция
§ 1. Музыкальные звуки
Говорят, что Пифагор первый обнаружил тот интересный факт, что одновременное звучание двух одинаковых струн различной длины приятнее для слуха, если длины этих струн относятся друг к другу как небольшие целые числа. Если длины струн относятся как 1:2, то это — музыкальная октава; если они относятся как 2:3, то это соответствует интервалу между нотами до и соль и называется квинтой. Эти интервалы считаются «приятно» звучащими аккордами. На Пифагора произвело такое впечатление это открытие, что на его основе он создал школу «пифагорийцев», как их называли, которые мистически верили в великую силу чисел. Они полагали, что нечто подобное будет открыто и в отношении планет, или «сфер». Иногда можно услышать такое выражение: «музыка сфер». Смысл его в том, что в природе предполагалось существование числовой связи между орбитами планет или между другими вещами. Это считается чем-то вроде суеверия древних греков. Но далеко ли от этого ушел наш сегодняшний научный интерес к количественным соотношениям? Открытие Пифагора, помимо геометрии, было первым примером установления числовых связей в природе. Поистине должно быть было удивительно вдруг неожиданно обнаружить, что в природе есть такие факты, которые описываются простыми числовыми соотношениями. Обычное измерение длин позволяет предсказать то, что, казалось бы, не имеет никакого отношения к геометрии,— создание «приятных» звуков. Это открытие привело к мысли, что арифметика и математический анализ, по-видимому, могут служить хорошим орудием в понимании природы. Результаты современной науки полностью подтверждают такую точку зрения.
Пифагор смог сделать свое открытие лишь с помощью экспериментальных наблюдений. Однако все значение этого открытия, по-видимому, не было ему ясно. А случись это, и развитие физики началось бы гораздо раньше. (Впрочем, всегда легко рассуждать о том, что сделал кто-то когда-то и что на его месте следовало бы сделать!)
Можно отметить еще одну, третью сторону этого интересного открытия: оно касается двух нот, которые звучат приятно для слуха. Но далеко ли ушли мы от Пифагора в понимании того, почему только некоторые звуки приятны для слуха? Общая теория эстетики, по-видимому, ненамного продвинулась со времен Пифагора. Итак, одно это открытие греков имеет три аспекта: эксперимент, математические соотношения и эстетику. Физики пока добились успеха только в первых двух. В этой главе мы расскажем о современном понимании открытия Пифагора.
Среди звуков, которые мы слышим, есть такой сорт, который называется шумом. Ему соответствуют какие-то нерегулярные колебания барабанной перепонки уха, вызванные нерегулярными колебаниями находящихся поблизости объектов. Если начертить диаграмму зависимости давления воздуха на барабанную перепонку (а следовательно, и перемещения ее) от времени, то график, соответствующий шуму, будет выглядеть так, как это изображено на фиг. 50.1,а.
Фиг. 50.1. Давление как функция времени.
а — для шума; б — для музыкального звука.
(Такой шум может например, вызвать топанье ногой.) А музыкальный звук имеет другой характер. Музыка характеризуется наличием более или менее длительных тонов, или музыкальных «нот». (Кстати, музыкальные инструменты тоже умеют производить шум!)
Тон может длиться сравнительно недолго, например когда мы ударяем по клавише фортепьяно, или неопределенно долго, когда, скажем, флейтист берет длинную ноту.
В чем состоит особенность музыкальной ноты с точки зрения давления воздуха? Музыкальный звук отличается от шума тем, что график его периодичен. Форма колебаний давления воздуха со временем пусть даже какая-то неправильная, но она должна повторяться снова и снова. Пример зависимости давления от времени для музыкального звука показан на приведенной выше фиг. 50.1.б.