Суть ясна: для Канта математика — очевидный и первейший пример торжества «чистого разума», и он надеется поднять остальные методы рассуждений до этого идеала. Однако так ли все безупречно, как нам хотелось бы верить? Примем, что понятие истины в математике действительно не имеет отношения к описанию окружающего мира, а фактически сводится к понятию математического доказательства; если мы сейчас ударимся в обсуждение соотношения реального и идеального миров, мы не то что до истины, а и до конца статьи добраться не сможем. Но даже с доказательствами, увы, все не так очевидно. Чтобы понять, как сейчас обстоят дела и куда мы катимся, придется начать с самого начала.
Математикам (как и представителям всех остальных областей знания) требуется передавать информацию о своих достижениях окружающим, причем достижения эти зачастую не так уж непосредственно очевидны. Иными словами, математик должен доказывать свои утверждения. Что же это значит? Хотя доказательство — центральное понятие математики, точного и универсального определения не найти; можно определить математическую модель доказательства так, как это обычно делают в матлогике, но ведь на самом деле доказательство — это социокультурный, психологический феномен. На этом, самом базовом, уровне понятие доказательства напрямую связано с понятием убедительности: задача доказательства в том, чтобы убедить воспринявшего доказательство поверить в то, что исходное утверждение верно. Более того, желательно убедить настолько хорошо, чтобы поверивший сам смог убеждать других.
Психологическая убедительность зависит и от эпохи, и от социальной среды, и от того миллиона других факторов, которые влияют на мировоззрение человека. Для средневекового схоласта убедительность имела совсем другую природу, чем для натуралиста Нового времени, хотя логика у них была общая, аристотелевская. Поэтому неудивительно, что и в математике доказательства и доказательность радикально изменялись со временем.
История западного научного знания началась в Древнем Египте. Там математические тексты представляли собой изложение материала вообще безо всякого доказательства в современном понимании. Проще говоря, в египетском тексте говорится, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 прямоугольный, но никакой попытки как-то обосновать это сомнительное утверждение не делается. Многие исследователи полагают, что для египтян с их сильной теократией и замкнутой кастой образованных людей достаточно убедительным был сам факт того, что утверждение записано на папирусе. Помимо траты ценного материала, запись сама по себе служила гарантией, что она исходит от авторитетного человека. Запомните это — к египетскому понятию убедительности мы еще вернемся.
А пока — лирическое отступление. Запись доказательства в Древней Индии чем-то напоминает египетскую, но под ней чувствуется куда более живая традиция. Сохранившиеся тексты и иллюстрации подчеркивают роль озарения и наглядности в их математике (или, по крайней мере, в обучении математике). Например, традиционный индийский текст по геометрии — это рисунок с лаконичным комментарием: «Смотри!» Это «Смотри!» и есть суть восточного подхода: убедительность достигается через наглядность (на рисунке обычно уже есть все вспомогательные построения), детали же собственно умозаключений не выписаны, а оставлены читателю (точнее, зрителю) «в качестве упражнения». Хочется вспомнить умное слово «суггестивность» и связать все это с восточной (особенно китайской) созерцательной традицией в искусстве, но здесь я боюсь что-либо утверждать. Порох, однако же, китайцы придумали с практическими целями, да и теорему об остатках во вполне современном виде Сунь Цзы излагал во времена если не Платона, то Плотина.
Аристотель
Логика — одна из самых древних наук. По современным представлениям, рождение логики связано с деятельностью софистов в Древней Греции в IV — V веках до новой эры: они создали логику как науку и активно использовали ее, в частности, для обучения ведению судебных споров. К этой же эпохе относится и деятельность первого ученого, систематизировавшего разрозненные логические знания — «отца логики» (да и вообще отца научного метода) Аристотеля.