В Древней Греции, где египетское доверие к априорным авторитетам было уже изрядно подорвано (его в республике с открытой судебной системой, где красноречие ценилось выше многих других достоинств, и быть не могло), записать что-нибудь на папирусе было явно недостаточно. Нужно было формулировать свои мысли так, чтобы они звучали убедительно, причем слушатель имел возможность сравнить аргументацию разных ораторов. Отсюда происходит зарождение логики у Сократа и окончательное оформление ее в виде науки у Аристотеля, а греческие представления о доказательстве, по сути, мало отличаются от современных: греки заложили основу дедуктивного метода (не путать с Шерлоком Холмсом — у него метод как раз индуктивный, Конан Дойль, как известно, перепутал).
Однако дедуктивный вывод должен был на что-то опираться; отсюда в Греции возникает идея аксиом — тех утверждений, из которых должны следовать все остальные. Убедительно (следовательно, доказуемо) то, что может быть получено «законным рассуждением» из аксиом, которые очевидны и общепризнанны.
Греки развили этот метод настолько удачно, что в течение следующих двух тысяч лет понятие доказательности как в жизни, так и в математике, оставалось неизменным. Логический аппарат долгое время считался более или менее завершенным; средневековые теологи и схоласты использовали работы Аристотеля (относясь к ним как к догме, уступающей разве что Писанию, да и то в попытках их примирить приходилось идти на взаимные уступки) и не ожидали, что к этому стройному и законченному зданию понадобится что-то еще пристраивать.
Однако в конце XIX — начале XX века логика пережила невиданную по своим масштабам и значению перестройку. Вначале преобразования казались несущественными и заключались в активном использовании символьной записи в логических исследованиях. Разработанная в 1840-х — 1870-х годах позапрошлого века Джорджем Булем и затем развитая другими учеными (например, Георгом Кантором) символьная запись логических рассуждений оказалась очень удобной и быстро завоевала популярность, превратив формальную логику в символьную.
Символьная «революция» в логике совпала по времени со столь же революционными преобразованиями в математике (очевидно, это не было случайным совпадением, но что было причиной, а что следствием — сказать трудно). Основным признаком этих преобразований стало качественное повышение требований к строгости доказательств.
Эйлер, как известно, очень вольно обходился со сходимостями рядов. Гюйгенс и даже Ньютон не очень старались представить доказательство в современном виде — они искали конструкцию решения, а затем приводили некоторые соображения в пользу того, что конструкция эта решает поставленную задачу. И если Эйлер и Ньютон обычно бывали правы — их математической интуиции можно только позавидовать, — то у простых смертных такие «прыжки веры» могли привести к печальным последствиям. Поэтому Карл Вейерштрасс выступил инициатором абсолютной логической стройности математических определений доказательств. Именно тогда сложилось современное понятие математического доказательства, современные стандарты убедительности и строгости математического труда.
Обратите внимание: только в середине XIX века! К тому времени уже был разработан математический анализ, вовсю решались дифференциальные уравнения, математика уже стала основой физики, Максвелл примерно в то же время писал свои уравнения... А строгих доказательств до сих пор не было. «Эпсилон-дельта нотацию» ввел в анализ Огюст Коши незадолго до Вейерштрасса. До этого в трудах даже ведущих математиков нередко встречались, по современным критериям, «расплывчатые соображения» и нестрогие рассуждения — то, что Дмитрий Дмитриевич называет «филологией».
Значит ли это, что до XIX века математики не существовало? Конечно, нет. Значит ли это, что до XIX века она была (большей частью) нестрогой и не имела доказательной силы? Здесь, подозреваю, мнения могут разойтись. На мой взгляд, все было в порядке. Доказательства выполняли свою основную функцию: они убеждали других математиков, что тот или иной факт верен, и позволяли им пользоваться этим фактом для дальнейшего развития теории.