В модели Дьюрелла можно пользоваться поворотом на действительный угол а. Действительно, если точка m (cos a. sin а), принадлежит окружности, то точка M(l/cos a, tga) — гиперболе. Итак, гиперболе V-изображения будет соответствовать окружность в Н-проекции.
Вычисления, основанные на использовании тригонометрических функций, позволили написать программу Durell. bas:
SCREEN 8
PI = 3.141593
COLOR 15, 1
M = 640: N = 200
LINE (.047 × M, 75 × N) — (.67 × M, 75 × N)
LINE (.414 × M, 10 × N) — (.42 × M, 0)
PRINT SPC(25); «у»; SPC(15); «Y»
PRINT
FOR k = TO PI / 3 STEP PI / 6
FOR i = 0 TO PI / 6 STEP PI / 150
t = 1 / 2 — (k + i)
x = (.234 +.19 × COS(t)) × M
у = (.75 —.3 × SIN(t)) × N
u = (234 +.19 / COS(t)) × M
v = (.075 — /3 × TAN(t)) × N
PSET (x, y)
PSET (u, v)
FOR w = 1 TO 1000
NEXT w
NEXT i
PRINT USING «it##.###»-,SPC(22); SIN(T);
PRINT USING «###.###»; SPC(9); TAN(t);
PRINT
LINE (.047 × M, 75 × N) — (u, v)
CIRCLE (x, y), 5
CIRCLE (u, v), 5
NEXT k
PRINT
END
Гиперболу можно рассматривать как изображение окружности в плоскости, где в качестве базиса берутся единичный вектор а, и мнимоединичный вектор b. «По существу, дело обстоит здесь совершенно так же, как и с картой земных полушарий, т. е. с изображением полусфер в виде плоских кругов. Это изображение неизбежно содержит искажения… Совершенно так же обстоит дело и в нашем случае, когда оригиналом является псевдоевклидова плоскость, а ее условным изображением — собственно евклидова плоскость чертежа», — пишет П. К. Рашевский в книге «Риманова геометрия и тензорный анализ».
В первой работе Эйнштейна (1905), в которой был сформулирован принцип относительности, еще не было языка неевклидовой геометрии. Это было сделано Минковским за несколько месяцев до смерти (наступившей в январе 1909 г.) в докладе, опубликованном посмертно. Его основной темой была геометрия, названная позже псевдоевклидовой геометрии, или геометрией Минковского, значение которой для теории относительности всегда подчеркивалось, Эйнштейном.
Формула линзы наглядно показывает относительность конечного и бесконечного. Романтики посвящали бесконечности и стихи. В начале романа «Отверженные» В. Гюго определил его как «драму, в которой главное действующее лицо бесконечность. Человек в ней — лицо второстепенное».
Повышенное внимание к «краевому мышлению» характерно не только для поэтов, но и для математиков. Математик Ж. Адамар в эссе «Исследование психологии процесса изображения в области математики», призывая «думать около», усматривает аналогии между краевым сознанием и расплывчатыми идеями, находящимися в «прихожей сознания» и время от времени выступающими на передний план, в поле ясного сознания. Вспомним историю отторжения векторного исчисления и неевклидовой геометрии. Очень показательно в этом отношении неприятие Вейерштрассом на его семинаре (в феврале 1870 г) системы неклассических геометрии Кэли-Клейна. «Я отнесся к этой отрицательной позиции с уважением и отложил в сторону уже созревшую идею. Я всегда робел перед критикой логиков, которая была далека от моих интересов. Только гораздо позже я понял, что суть дела заключается в различии наших подходов и что психология математического творчества таит в себе огромные проблемы. Очевидно, Вейерштрасс по натуре своей был склонен к тщательной, постепенной работе, шаг за шагом пролагающей путь к вершине; ему менее свойственно было издали распознавать не достигнутые еще высоты», — отмечал Ф. Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX столетии».
Система неевклидовых геометрий была впервые построена Феликсом Клейном, который опирался на алгебраическую работу Артура Кэли «On quantics». На прямой возникают три различные метрики: эллиптическая, гиперболическая и параболическая. Аналогично можно ввести метрику углов (в пучке прямых): эллиптическую, гиперболическую и параболическую, комбинируя все возможные типы мероопределения расстояния и углов, получаем 3 x 3 = 9 геометрий на плоскости: