(А — пересечение диагоналей KR к МО, а точка В — пересечение медиан треуг. ORN или, — практически — граница между первой и второй третями диагонали RL). Следоват., центр тяжести нашей трапеции лежит в точке С. А сила тяжести всей трапеции, как равнодействующая параллельных с нею сил тяжести прямоугольн. KORM и треуг. ORN, делит прямую, соединяющую точки приложения каждой из составляющих сил, на части обратно пропорциональные самим силам (сохраняется равенство моментов сил). Поскольку силы выражаются здесь величиной площадей, мы составим пропорцию: площ. KORM / площ. ONR — BC: CA. Но первое отношение, при одной и той же высоте h, составляет величину: y: 1/2x, а второе отношение, равное BE: AD, составляет 1/3х: 1/2у. Из равенства этих отношений вытекает, что у × 1/2у = 1/2x × 1/3х (это и есть равенство моментов сил); отсюда х2 = 3у2, а х: у = √3.
И вот, значит, решение задачи: точка О делит основание прямоугольника на части, пропорциональные числам √3 и 1. И это решение совершенно не зависит от высоты h: оно действительно для всех прямоугольников с KL.
Для построения припомним, что √3 есть отношение стороны правильного треугольника к радиусу описанной окружности или отношение большого катета к меньшему катету в прямоуг. треугольнике с острыми углами в 60° и в 30°. Применительно к этому верхнее основание данного прямоугольника KL можно разбить на 2 части (√3: 1) двумя способами: 1-й способ. — Строится угол LKP = 15° и угол KLP = 80°. Из точки Р, пересечения вторых сторон этик углов — засекается на RL точка О радиусом ОР= РL. Тогда, при угле ОРК = 15°, КО = ОР, и значит точка О и будет искомой, так как в треугольнике ОLР отношение OL (х) к OP (OK = y) = √3. 2-й способ. — На KL строится засечками равносторонний треугольник KLS, а при точке L угол KLТ = 45°. Перпендикуляр из Т на KL = ТО — поделить KL в отношениях √3: 1 явствует из рассмотрения свойств треугольника КОТ, в коем ОТ = OL.
Таковы наиболее простые решения задачи. Однако, никто из участников конкурса этих решений не привел. Все определяли расстояние искомой точки от угла в зависимости от величины всего основания (а) и давали хотя и правильное, но менее красивое построение величины y = 1/2 (√3–1).
Юбилейный акростих.
Задача № 26.
Из числа многих акростихов, составленных в честь юбиляров Толстого и Горького, приведем един, составленный Б. В. Смирновым.
Можно ли угадать?
Задача № 25.
Если первый делитель будет х, а второй у, те Ах = By. Это неопределенное уравнение приводит в общем случае ко многим решениям, а для точного угадания одного задуманного числа N надо иметь какие-либо дополнительные условия зависимости. Например, если будет известен общий наибольший делитель d множителей (делителей) х и у, то поступают так: находят частные от деления А и В на их общего наибольшего делителя D и определяют искомое число, как произведение (A: D)×(B: D)×D×d (несложные выкладки выпущены). Эта формула принимает более простой вид в след, случаях: 1) Если известные числа А и В первые между собой, т. е. при D = 1, N = A×B×d. 2) Если будет сказано, что множители х и у первые между собой, то при d = 1 (a D > 1), искомое число определится, как (A: D)×(B: D)×D. 3) Если попарно не имеют общих делителей ни А с В, ни х с у, то при D = 1 и d = 1 — N= А×В; задуманное число угадается, как простое произведение названных чисел А и В. — Дополнительные условия могут быть даны и в другом виде, напр., указанием числа цифр в искомом числе и др. Наиболее полно все условии разобраны участником конкурса Семеновым (Свердловск).