(8.30)
Эту формулу можно толковать, говоря, что в том месте пространства, где присутствует электрическое поле, сосредоточена и энергия; плотность ее (количество энергии в единице объема) равна
(8.31)
Эта идея иллюстрируется фиг. 8.8.
Чтобы показать, что уравнение (8.30) согласуется с нашими законами электростатики, начнем с того, что введем в уравнение (8.28) соотношение между r и j, полученное в гл. 6:
Получим
(8.32)
Расписав покомпонентно подынтегральное выражение, мы
увидим, что
А наш интеграл энергий тогда равен
С помощью теоремы Гаусса второй интеграл можно превратить в интеграл по поверхности:
(8.34)
Этот интеграл мы подсчитаем для того случая, когда поверхность простирается до бесконечности (так что интеграл по объему обращается в интеграл по всему пространству), а все заряды расположены на конечном расстоянии друг от друга. Проще всего это сделать, взяв поверхность сферы огромного радиуса с центром в начале координат. Мы знаем, что вдали от всех зарядов j изменяется как 1/R, a Сj как 1/R2. (И даже быстрее, если суммарный заряд нуль.) Площадь же поверхности большой сферы растет только как R2, так что интеграл по поверхности убывает по мере возрастания радиуса сферы как
(1/R)(1/R2)/R2= (1/R). Итак, если наше интегрирование захватит собой все пространство (R® Ґ), то поверхностный интеграл обратится в нуль, и мы обнаружим
(8.35)
Мы видим, что существует возможность представить энергию произвольного распределения зарядов в виде интеграла от плотности энергии, сосредоточенной в поле.
§ 6. Энергия точечного заряда
Новое соотношение (8.35) говорит нам, что даже у отдельного точечного заряда q имеется какая-то электростатическая энергия. Поле в этом случае дается выражением
так что плотность энергии на расстоянии r от заряда равна
За элемент объема можно принять сферический слой толщиной dr, по площади равный 4pr2. Полная энергия будет
(8.36)
Верхний предел г=Ґ не приводит к затруднениям. Но раз заряд точечный, то мы намерены интегрировать до самого нуля (r=0), а это означает бесконечность в интеграле. Уравнение (8.35) утверждает, что в поле одного точечного заряда содержится бесконечно много энергии, хотя начали мы с представления о том, что энергия имеется только между точечными зарядами. В нашу первоначальную форму для энергии совокупности точечных зарядов (8.3) мы не включили никакой энергии взаимодействия заряда с самим собой. Что же потом случилось? А то, что, переходя в уравнении (8.27) к непрерывному распределению зарядов, мы засчитывали в общую сумму взаимодействие всякого бесконечно малого заряда со всеми прочими бесконечно малыми зарядами. Тот же учет велся и в уравнении (8.35), так что, когда мы применяем его к конечному точечному заряду, мы включаем в интеграл энергию, которая понадобилась бы, чтобы накопить этот заряд из бесконечно малых частей. И действительно, вы могли заметить, что результат, следующий из уравнения (8.36), мы могли бы получить также из выражения (8.11) для энергии заряженного шара, устремив его радиус к нулю.
Мы вынуждены прийти к заключению, что представление о том, будто энергия сосредоточена в поле, не согласуется с предположением о существовании точечных зарядов. Один путь преодоления этой трудности — это говорить, что элементарные заряды (такие, как электрон) на самом деле вовсе не точки, а небольшие зарядовые распределения. Но можно говорить и обратное: неправильность коренится в нашей теории электричества на очень малых расстояниях или в нашем представлении о сохранении энергии в каждом месте порознь. Но каждая такая точка зрения все равно встречается с затруднениями. И их никогда еще не удавалось преодолеть; существуют они и по сей день. Немного позже, когда мы познакомимся с некоторыми дополнительными представлениями, такими, как импульс электромагнитного поля, мы более подробно поговорим об этих основных трудностях в нашем понимании природы