Связь между полем В и токами дается уравнением (13.13). Положение здесь совсем другое, в корне отличное от электростатики, где у нас было СXЕ = 0. Это уравнение означало, что линейный интеграл от Е по любому замкнутому пути равен нулю:
Фиг. 13.6. Контурный интеграл от тангенциальной составляющей В равен поверхностному интегралу от нормальной составляющей вектора
(СX B).
Мы получили этот результат с помощью теоремы Стокса, согласно которой интеграл по любому замкнутому пути от любого векторного поля равен поверхностному интегралу от нормальной компоненты ротора этого вектора (интеграл берется по дюбой поверхности, натянутой на данный контур). Применяя эту же теорему к вектору магнитного поля и используя обозначения, показанные на фиг. 13.6, получаем
(13.14)
Найдя rot В из уравнения (13.13), имеем
(13.15)
Интеграл от j по S, согласно (13.5), есть полный ток I через поверхность S. Поскольку для постоянных токов ток через S не зависит от формы S, если она ограничена кривой Г, то обычно говорят о «токе через замкнутую петлю Г». Мы имеем, таким образом, общий закон: циркуляция В по любой замкнутой кривой
равна току I сквозь петлю, деленному на e0с2:
(13.16)
Этот закон, называемый законом Ампера, играет такую же роль в магнитостатике, как закон Гаусса в электростатике. Один лишь закон Ампера не определяет В через токи; мы должны, вообще говоря, использовать также С·В=0. Но, как мы увидим в следующем параграфе, он может быть использован для нахождения поля в тех особых случаях, которые обладают некоторой простой симметрией.
§ 5. Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи
Можно показать, как пользоваться законом Ампера, определив магнитное поле вблизи провода. Зададим вопрос: чему равно поле вне длинного прямолинейного провода цилиндрического сечения? Мы сделаем одно предположение, может быть, не столь уж очевидное, но тем не менее правильное: линии поля В идут вокруг провода по окружности. Если мы сделаем такое предположение, то закон Ампера [уравнение (13.16)] говорит нам, какова величина поля. В силу симметрии задачи поле В имеет одинаковую величину во всех точках окружности, концентрической с проводом (фиг. 13.7). Тогда можно легко взять линейный интеграл от B·ds. Он равен просто величине В, умноженной на длину окружности. Если радиус окружности равен r, то
Полный ток через петлю есть просто ток I в проводе, поэтому
или
(13.17)
Напряженность магнитного доля спадает обратно пропорционально r, расстоянию от оси провода. При желании уравнение (13.17) можно записать в векторной форме. Вспоминая, что В направлено перпендикулярно как I, так и r, имеем
(13.18)
Фиг. 13.7. Магнитное поле вне длинного провода с током I.
Фиг. 13.8. Магнитное поле длинного соленоида.
Мы выделили множитель 1/4pe0с2, потому что он часто появляется. Стоит запомнить, что он равен в точности 10-7 (в системе единиц СИ), потому что уравнение вида (13.17) используется для определения единицы тока, ампера. На расстоянии 1 м ток в 1a создает магнитное поле, равное 2·10-7 вебер/м2.
Раз ток создает магнитное поле, то он будет действовать с некоторой силой на соседний провод, по которому также проходит ток. В гл. 1 мы описывали простой опыт, показывающий силы между двумя проводами, по которым течет ток. Если провода параллельны, то каждый из них перпендикулярен полю В другого провода; тогда провода будут отталкиваться или притягиваться друг к другу. Когда токи текут в одну сторону, провода притягиваются, когда токи противоположно направлены,— они отталкиваются.