§ 7. Фильтры
В предыдущем параграфе мы видели, что бесконечная лестничная сеть (см. фиг. 22.20) непрерывно поглощает энергию, если эта энергия подводится с частотой, которая ниже некоторого критического значения Ц4/LC, называемого граничной частотой w0. У нас возникла мысль, что этот эффект можно понять, основываясь на представлении о непрерывном переносе энергии вдоль линии. С другой стороны, на высоких частотах (при w >w0) непрерывного поглощения энергии не бывает; тогда следует ожидать, что токи, видимо, не смогут «проникнуть» далеко вдоль линии. Поглядим, верны ли эти представления.
Пусть передний конец лестницы соединен с каким-то генератором переменного тока, и нас интересует, как выглядит напряжение, скажем, в 754-м звене лестницы. Поскольку сеть бесконечна, при переходе от одного звена к другому происходит всегда одно и то же; так что можно просто посмотреть, что случается, когда мы переходим от n-го звена к (n+1)-му. Токи In и напряжения Vn мы определим так, как показано на фиг. 22.21,а.
Фиг. 22.21. Нахождение фактора распространения лестницы.
Напряжение Vn+1можно получить из Vn, если вспомнить, что остаток лестницы (за n-м звеном) всегда можно заменить ее характеристическим импедансом z0; и тогда достаточно проанализировать только схему фиг. 22.21, б. Мы прежде всего замечаем, что каждое Vn, поскольку это напряжение на зажимах сопротивлеиия z0, должно быть равно Inz0. Кроме того, разность между Vnи Vn+lравна просто Inz1:
Получается отношение
которое можно назвать фактором распространения для одного звена лестницы; обозначим его a. Для всех звеньев
(22.29)
и напряжение за n-м звеном равно
Теперь ничего не стоит найти напряжение за 754-м звеном; оно просто равно произведению e на 754-ю степень a.
Как выглядит a для лестницы L—С на фиг. 22.20, а? Взяв z0 из уравнения (22.27) и г1 =iwL, получим
Если частота на входе ниже граничной частоты w0=Ц4/LС, то корень — число действительное, и модули комплексных чисел в числителе и знаменателе одинаковы. Поэтому значение a по модулю равно единице; можно написать
а это означает, что величина (модуль) напряжения в каждом звене одна и та же; меняется только фаза. Она меняется на число d; оно на самом деле отрицательно и представляет собой «задержку» напряжения по мере того, как последнее проходит по сети. А для частот выше граничной частоты w0 лучше вынести в числителе и знаменателе (22.31) множитель i и переписать его в
(22.32)
Теперь фактор распространения a — число действительное, притом меньшее единицы. Это означает, что напряжение в некотором звене всегда меньше напряжения в предыдущем звене; множитель пропорциональности равен а. При частотах выше w0 напряжение быстро спадает по мере движения вдоль сети. Кривая модуля a как функции частоты похожа на график, приведенный на фиг. 22.22.
Мы видим, что поведение а как выше, так и ниже w0 согласуется с нашим представлением о том, что сеть передает энергию при w<w0 и задерживает ее при w>w0. Говорят, что сеть «пропускает» низкие частоты и «отбрасывает», или «отфильтровывает», высокие. Всякая сеть, устроенная так, чтобы ее характеристики менялись указанным образом, называется «фильтром». Мы проанализировали «фильтр низкого пропускания», или «низких частот».
Вас может удивить — к чему все это обсуждение бесконечных сетей, если на самом деле они невозможны? Но вся хитрость в том и заключается, что те же характеристики вы обнаружите и в конечной сети, если заключите ее импедансом, совпадающим с характеристическим импедансом z0. Практически, конечно, невозможно точно воспроизвести характеристический импеданс несколькими простыми элементами, такими, как R, L и С. Но в некоторой полосе частот нередко этого можно добиться в хорошем приближении. Этим способом можно сделать конечную фильтрующую сеть со свойствами, очень близкими к тем, которые проявляются в бесконечном фильтре. Скажем, лестница L—С будет во многом вести себя так, как было описано, если на конце ее помещено чистое сопротивление R=ЦL/C.