(23.4)
Производная Е по времени в нашем переменном поле равна iwE0eiwt, Значит, в нашем конденсаторе магнитное поле равно
(23.5)
Иными словами, магнитное поле тоже колеблется, а его величина пропорциональна w и r.
К какому эффекту это приведет? Когда существует магнитное поле, которое меняется, то возникнут наведенные электрические поля, и действие конденсатора станет слегка похоже на индуктивность. По мере роста частоты магнитное поле усиливается: оно пропорционально скорости изменения Е, т. е. w. Импеданс конденсатора больше не будет просто равен 1/iwС.
Будем увеличивать частоту и посмотрим повнимательнее, что происходит. У нас есть магнитное поле, которое плещется то туда, то сюда. Но тогда и электрическое поле не может, как мы раньше предполагали, остаться однородным! Если имеется изменяющееся магнитное поле, то по закону Фарадея должен существовать и контурный интеграл от электрического поля. Так что если существует заметное магнитное поле (а так и бывает на высоких частотах), то электрическое поле не может быть на всех расстояниях от центра одинаковым. Оно должно так меняться с r, чтобы криволинейный интеграл от него мог быть равен изменяющемуся потоку магнитного поля.
Посмотрим, сможем ли мы представить себе правильное электрическое поле. Это можно сделать, подсчитав «поправку» к тому, что было на низких частотах,— к однородному полю. Обозначим поле при низких частотах через Е1, и пусть оно по-прежнему равно Е0еiwt, а правильное поле запишем в виде
где E2— поправка из-за изменения магнитного поля. При любых w мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде E0eiwt(тем самым определяя Е0), так что в центре поправки не будет: E2=0 при r=0.
Чтобы найти Е2, можно использовать интегральную форму закона Фарадея
Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии Г2, показанной на фиг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния r, потом вертикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к оси по радиусу. Контурный интеграл от Е1вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только Е2, и интеграл равен просто —Ez(r)h, где h — зазор между обкладками. (Мы считаем Е положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В, который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади S внутри Г2 (фиг. 23.4,6). Поток через вертикальную полосу шириной dr равен B(r)hdr, а суммарный поток
Полагая — d/dt от потока равным контурному интегралу от E2, получаем
Фиг. 23.5. Электрическое поле между обкладками конденсатора на высоких частотах. Краевыми аффектами пренебрегли.
Заметьте, что h выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.
Используя для В(r) формулу (23.5), получаем
Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель iw:
(23.7)
Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на нет первоначальное электрическое поле. Исправленное поле Е = Е1+Е2тогда равно
(23.8)
Электрическое поле в конденсаторе больше уже не однородно; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.
Наши результаты можно использовать для того, чтобы подсчитать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты оз. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что произойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчитали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении. Обозначим его В1, а (23.5) перепишем в виде