И мы тоже будем придерживаться этого порядка и записывать скалярное произведение просто ambm. Итак, по определению,
(25.7)
Помните, что повсюду, где вы видите два одинаковых значка (вместо m мы иногда будем пользоваться v или другими буквами), необходимо взять четыре произведения и сложить их, не забывая при этом о знаке минус перед произведениями пространственных компонент. С учетом такого соглашения инвариантность скалярного произведения при преобразованиях Лоренца можно записать как
Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) представляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись:
Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как аmаm:
(25.8)
Но иногда удобно эту величину записать как а2m:
Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (р') получают на больших ускорителях из реакции
Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с покоящимся протоном (например, с помещенной в пучок водородной мишенью), и если падающий протон обладает достаточной энергией, то вдобавок к двум первоначальным протонам может родиться пара протон—антипротон.
Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной?
Ответ легче всего получить, рассмотрев эту реакцию в системе центра масс (ц. м.) (фиг. 25.1). Назовем падающий протон протоном а, а его четырехимпульс обозначим через рam. Аналогично, протон мишени назовем b, а его четырехимпульс обозначим через рbm. Если энергии падающего протона как раз достаточно для реакции, то в конечном состоянии (т. е. в состоянии после соударения) образуется система, содержащая три протона и антипротон, покоящиеся в системе ц. м. Если энергия падающего протона будет несколько выше, то частицы в конечном состоянии вылетят с некоторой кинетической энергией и будут разлетаться в стороны; если же она немного ниже, то ее будет недостаточно для образования четырех частиц.
Пусть рсm — полный четырехимпульс всей системы в конечном состоянии, тогда, согласно закону сохранения энергии и
а комбинируя эти два выражения, можно написать
(25.9)
Теперь еще одно важное обстоятельство: поскольку мы получили уравнение для четырехвекторов, то оно должно выполняться в любой инерциальной системе. Этим фактом можно воспользоваться для упрощения вычислений. Напишем длины каждой из частей (25.9), которые, разумеется, тоже должны быть равны друг другу, т. е.
(25.10)
Так как рсm рсm — инвариант, то можно вычислить его в какой-то одной системе координат. В системе ц. м. временная компонента рсm равна энергии покоя четырех протонов, т. е. 4М, а пространственная часть р равна нулю, так что рсm=(4М, 0). При этом мы воспользовались равенством масс протона и антипротона, обозначив их одной буквой М.
Таким образом, уравнение (25.10) принимает вид
(25.11)
Произведения раmраm и pbmpbm, вычисляются очень быстро: «длина» четырехвектора импульса любой частицы равна просто квадрату ее массы:
Это можно доказать прямыми вычислениями или, несколько более эффектно, простым замечанием, что в системе покоя частицы рm=(М, 0), а следовательно, рmрm=М2. А так как это инвариант, то он равен М2 в любой системе отсчета. Подставляя результаты в уравнение (25.11), мы получаем