6a. Электродинамика

Но, поскольку А_yравна нулю, у нас остается только одна производная. Заметьте, однако, что А_хпросто равна vj, а производная (d/dy)vjравна —vE_y . Так что

(26.7)

Аналогично,

или

(26.8)

Наконец, компонента В_хравна нулю, поскольку равны нулю и А_уи А_г. Таким образом, магнитное поле можно записать в виде

(26.9)

Теперь посмотрим, как выглядят наши поля. Мы попытаемся нарисовать картину поля вокруг положения заряда в настоящий момент. Конечно, влияние заряда в каком-то смысле происходит из запаздывающего положения, но, поскольку мы имеем дело со строго заданным движением, запаздывающее положение однозначно определяется положением в настоящий момент. При постоянной скорости заряда поля лучше связывать с текущими координатами, ибо компоненты поля в точке х, у, z зависят только от (х-vt), у и z, которые являются компонентами вектора перемещения r_pиз постоянного положения заряда в точку (х, у, z) (фиг. 26.3).

Фиг. 26.3. Электрическое поле заряда, движущегося с постоянной скоростью, направлено по радиусу от истинного положения заряда.

Рассмотрим сначала точки, для которых z= 0. Поле Е в этих точках имеет только х- и y-компоненты. Из уравнений (26.3) и (26.6) видно, что отношение этих компонент как раз равно отношению х- и y-компонент вектора перемещения. Это означает, что направление Е совпадает с направлением r_p, как это показано на фиг. 26.3. Тот же результат остается справедливым и для трех измерений, поскольку E_zпропорционально z. Короче говоря, электрическое поле заряда радиально и силовые линии расходятся от заряда так же, как и в стационарном случае. Конечно, вследствие наличия дополнительного фактора (1-v²) поле не будет тем же самым, что в стационарном случае. Но здесь мы можем увидеть нечто очень интересное. Дело обстоит так, как будто вы пишете закон Кулона в особой системе координат, «сжатой» вдоль оси x множителем Ц(1-v²) Если вы сделаете это, то силовые линии впереди и позади заряда разойдутся, а по бокам сгустятся (фиг. 26.4).

Если мы связываем обычным образом напряженность поля Е с плотностью силовых линий, то видим, что поле впереди и позади заряда ослабевает, но зато по бокам становится сильнее, т. е. как раз то, о чем говорит нам уравнение. Когда вы измеряете напряженность поля под прямыми углами к линии движения, т. е. при (x-vt) = 0, расстояние от заряда будет равно y²+z², а полная напряженность Ц(E²_x+E²_y) в этих точках равна

(26.10)

Она, как и в случае кулонова поля, пропорциональна квадрату расстояния, но еще усиливается постоянным множителем 1/Ц(1-v²), который всегда больше единицы. Таким образом, по бокам движущегося заряда электрическое поле сильнее, чем это следует из закона Кулона. Фактически увеличение по сравнению с кулоновым потенциалом равно отношению энергии частицы к ее массе покоя.

Впереди заряда (или позади него) у и z равны нулю, а поэтому

(26.11)

Снова поле обратно пропорционально расстоянию от заряда, но теперь оно зарезается множителем (1-v²), что согласуется с картиной силовых линий. Если v/c мало, то v²/c²еще меньше, и действие (1-v²) почти незаметно, поэтому мы снова возвращаемся к закону Кулона. Но если частица движется со скоростью, близкой к скорости света, то поле перед частицей сильно уменьшается, а поле сбоку чудовищно возрастает.

Наш результат, относящийся к электрическому полю заряда, можно представить и так. Предположим, что вы на клочке бумаги нарисовали силовые линии покоящегося заряда, а затем эту картину запустили со скоростью v₂. Тогда благодаря лоренцеву сокращению рисунок сожмется, т. е. частички графита на бумаге будут казаться нам расположенными в других местах. Но чудо состоит в том, что в результате на пролетающем мимо листочке вы увидите точную картину силовых линий точечного движущегося заряда. Лоренцево сокращение сблизит их по бокам, раздвинет перед зарядом и позади него как раз настолько, чтобы получить нужную плотность. Мы уже отмечали, что силовые линии — это не реальность, а лишь способ представить себе электрическое поле. Однако здесь они ведут себя как самые настоящие реальные линии. В этом частном случае, если вы и сделали ошибку, рассматривая силовые линии как нечто реальное и преобразуя их как реальные линии в пространстве, поле в результате все равно получилось бы правильным.