Фиг. 26.4. Электрическое поле заряда.
а — неподвижного, б — летящего с постоянной скоростью v=0,9 с.
Однако от этого силовые линии не станут более реальными. Вспомните об электрическом поле, создаваемом зарядом вместе с магнитом; когда магнит движется, он создает новое электрическое поле и разрушает всю нашу прекрасную картину. Так что простая идея сокращающейся картинки, вообще говоря, не годится. Но все же это очень удобный способ запомнить, как выглядит поле быстро движущегося заряда.
Магнитное поле [из уравнения (26.9)] равно vXE. Когда вы векторно помножите скорость на радиальное поле Е, то получите поле В, силовые линии которого представляют окружности вокруг линии движения (фиг. 26.5). Если же теперь мы подставим обратно все с, то вы убедитесь, что результат получился тот же, что и для медленно движущихся зарядов. Хороший способ установить, куда должны войти с, — это вспомнить формулу для силы:
Вы видите, что произведение скорости на магнитное поле имеет ту же размерность, что и электрическое поле, так что в правой части (26.9) должен стоять множитель 1/с2, т. е.
(26.12)
Для медленно движущегося заряда (v << с) поле можно считать кулоновым, и тогда
(26.13)
Эта формула в точности соответствует магнитному полю тока, которое было найдено в гл. 14 (вып. 5).
Попутно мне хотелось бы отметить кое-что весьма интересное просто для того, чтобы вы об этом подумали. (К обсуждению этого мы еще вернемся, но несколько позже.) Представьте себе два электрона, скорости которых перпендикулярны, так что пути их пересекаются, однако электроны не сталкиваются; один из них успевает проскочить перед другим. В какой-то момент их относительное положение будет таким, как изображено на фиг. 26.6, а.
Фиг. 26.5. Магнитное поле вблизи движущегося заряда равно vXE (ср. с фиг. 26.4).
Фиг. 26.6. Силы между двумя движущимися зарядами не всегда равны и противоположны. «Действие», оказывается, не равно «противодействию».
Рассмотрим теперь силы, с которыми q2действует на q1, и наоборот. На q2 со стороны q1 действует только электрическая сила, ибо q1на линии своего движения не создает магнитного поля. Однако на q1кроме электрического поля, действует еще и магнитное, так что он движется и в магнитном поле, создаваемом зарядом q2. Все эти силы показаны на фиг. 26.6, б. Электрические силы, действующие на q1и q2, равны по величине и противоположны по направлению. Однако на q1еще действует и боковая (магнитная) сила, которой и в помине нет у q2. Равно ли здесь действие противодействию? Поломайте голову над этим вопросом.
§ 3. Релятивистское преобразование полей
В предыдущем параграфе мы вычисляли электрическое и магнитное поля, исходя из трансформационных свойств потенциалов. Но, несмотря на приведенные ранее аргументы в пользу физического смысла и реальности потенциалов, поля все же важнее. Они тоже реальны, и для многих задач было бы удобно иметь способ вычисления полей в движущейся системе, если поля в некоторой «покоящейся» системе уже известны. Мы имеем законы преобразования для j и А, поскольку Аmпредставляет собой четырехвектор. Теперь нам хотелось бы найти законы преобразования Е и В. Пусть мы знаем векторы Е и В в одной системе отсчета. Как же они выглядят в другой системе, движущейся относительно первой? Здесь-то нам и понадобятся преобразования. Конечно, мы всегда можем сделать это через потенциал, но иногда удобно уметь преобразовывать поля непосредственно. Сейчас мы увидим, как это делается.
Как можно найти закон преобразования полей? Нам известны законы преобразования j и А, и мы знаем, как выражаются поля через j и А, так что отсюда нетрудно найти преобразования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каждого вектора есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, например, с вектором Е можно связать некую величину, которая сделает его четырехвектором. То же самое относится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно, равно СXА. Теперь мы знаем, что х -, у- и z-компоненты векторного потенциала — это только одна часть, помимо них есть еще и t-компонента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора С наряду с производными по х, у и z есть также производная по t. Давайте же попытаемся найти, что получится, если мы произведем замену у на t, или z на t, или еще что-нибудь в этом духе.