Вот какой мы прошли длинный путь. Помните, мы начали с определения, что такое скорость? А теперь мы уже рассуждаем о «тензоре второго ранга в четырехмерном пространстве».
Теперь нам нужно найти закон преобразования Fmv. Сделать это нетрудно — мороки только много,— шевелить мозгами особенно не нужно, а вот потрудиться все же придется. Единственное, что мы должны найти,— это преобразование Лоренца величины Сm Av— СvAm . Так как Сm — просто специальный случай вектора, то мы будем работать с общей антисимметричной
комбинацией векторов, которую можно назвать Gmv :
(26.20)
(Для наших целей амследует, в конце концов, заменить на Сm, а bm —на потенциал Аm .) Компоненты аm и bmпреобразуются по формулам Лоренца:
(26.21)
Теперь преобразуем компоненты Gm v . Начнем с Gtx:
Но ведь это просто Gtx. Таким образом, мы получили простой
результат G’tx=Gtx.
Возьмем еще одну компоненту:
Итак, получается
И, конечно, точно таким же образом
А теперь ясно, как ведут себя все остальные компоненты. Давайте составим таблицу преобразований всех шести членов; только теперь мы будем все писать для величин Fmv:
(26.22)
Разумеется, по-прежнему у нас Fmv=—f'mv, a F'mm=0.
Итак, мы имеем преобразования электрических и магнитных полей. Единственное, что нам нужно сделать,— это заглянуть в табл. 26.1 и узнать, что означает для векторов Е и В преобразование, записанное для Fмv. Речь идет о простой подстановке. Чтобы можно было видеть, как это все выглядит в обычных символах, перепишем наши преобразования компонент поля в виде табл. 26.2.
Таблица 26.2 · ЛОРЕНЦЕВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Уравнения в этой таблице говорят нам, как изменяются Е и В при переходе от одной инерциальной системы к другой. Если известны Е и В в одной системе, то мы можем найти, чему они равны в другой, движущейся относительно нее со скоростью v.
Можно переписать эти уравнения в форме, более легкой для запоминания. Для этого заметьте, что поскольку скорость v направлена по оси х, то все компоненты с v представляют собой векторные произведения vXE и vXB. Так что преобразования можно записать в виде табл. 26.3.
Таблица 26.3 · ДРУГАЯ ФОРМА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ
Теперь легко запомнить, какая компонента куда идет. Фактически эти преобразования можно записать даже еще проще, если ввести компоненты поля, направленные по оси х, т. е. «параллельные» компоненты E║ и В║(которые параллельны относительной скорости систем S и S') и полные поперечные или «перпендикулярные» компоненты Е┴ и В┴, т. е. векторную сумму у- и z-компонент. В результате мы получим уравнения, сведенные в табл. 26.4. (Для полноты мы восстановили все с.)
Таблица 26.4 · ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ЛОРЕНЦЕВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОЛЕЙ Е И В
Преобразования поля позволяют по-другому решить задачи, которыми мы занимались прежде, например найти поле движущегося точечного заряда. Раньше мы вычисляли поля, дифференцируя потенциалы. Но теперь то же самое можно сделать, преобразуя кулоново поле. Если у нас в системе S находится покоящийся заряд, то он создает только простое радиальное поле Е. В системе S', движущейся относительно системы S со скоростью v=-u, точечный заряд будет казаться нам летящим со скоростью и. Покажите сами, что преобразования табл. 26.3 и 26.4 дают те же самые электрические и магнитные поля, которые мы получили в § 2.