потенциалов мы можем записать ее в виде
(28.13)
Удивительно простая идея Боппа заключается в следующем. Может быть, все зло происходит от множителя 1/r под интегралом. Предположим с самого начала, что потенциал в одной точке зависит от плотности зарядов в любой точке как некоторая функция расстояния между точками, скажем как f(r12). Тогда полный потенциал в точке 1 будет определяться интегралом по всему пространству от произведения jm на эту функцию
Вот и все. Никаких дифференциальных уравнений, ничего больше. Есть только еще одно условие. Мы должны потребовать, чтобы результат был релятивистски инвариантным. Так что в качестве «расстояния» мы должны взять инвариантное «расстояние» между двумя точками в пространстве-времени. Квадрат этого расстояния (с точностью до знака, который несуществен) равен
Так что для релятивистской инвариантности теории функция должна зависеть от s12 или, что то же самое, от s212. Таким образом, в теории Боппа
(Интеграл, разумеется, должен браться по четырехмерному объему dtzdxzdy2dz2.)
Фиг. 28,4. Функция F(s2), используемая в нелокальной теории Боппа.
Теперь остается только выбрать подходящую функцию F. Относительно нее мы предполагаем только одно, что она повсюду мала, за исключением области аргумента вблизи нуля, т. е. что график F ведет себя подобно кривой, изображенной на фиг. 28.4. Это узкий пик в окрестности s2=0, шириной которого грубо можно считать величину а2. Если вычисляется потенциал в точке 1, то приближенно можно утверждать, что заметный вклад дают только те точки 2, для которых s212 = с2(t2-t1)2-r212 отличается от нуля на ±a2. Это можно выразить, сказав, что F важно только для
(28.16)
Если понадобится, можно проделать все математически более строго, но идея вам уже ясна.
Предположим теперь, что а очень мало по сравнению с размерами обычных объектов типа электромоторов, генераторов и тому подобное, поэтому для обычных задач г12>>а. Тогда выражение (28.16) говорит, что в интеграл (28.15) дают вклад только те токи, для которых t1-t2 очень мало:
Но поскольку а2/r212<<1, то квадратный корень приближенно равен 1 ±а2/2r212, так что
В чем здесь суть? Полученный результат говорит, что для Аm. в момент t1важны только те времена t2, которые отличаются от него на запаздывание r12/c с пренебрежимо малой поправкой, ибо r12>>а. Другими словами, теория Боппа переходит в теорию Максвелла при удалении от зарядов в том смысле, что она приводит к эффекту запаздывания.
Мы можем приближенно увидеть, к чему нас приведет интеграл (28.15). Если, зафиксировав r12, провести интегрирование по t2в пределах от -Ґ до +Ґ,то s212 тоже будет изменяться от -Ґ до +Ґ. Но основной вклад даст участок по t2шириной At2=2·а2/2r12с с центром в момент t1-r12/c.Пусть функция F(s2) при s2=0 принимает значение К, тогда интегрирование по t2дает приблизительно KjmDt2, или
Разумеется, величину jm следует взять в момент t2=t1-r12/c, так что (28.15) принимает вид
Если выбрать K=q2с/4pe0а2, то мы придем прямо к запаздывающему решению уравнений Максвелла для потенциалов, причем автоматически возникает зависимость 1/r! И все это получилось из простого предположения, что потенциал в одной точке пространства-времени зависит от плотности токов во всех других точках пространства-времени с весовым множителем, в качестве которого взята некая функция четырехмерного расстояния между двумя точками. Эта теория тоже дает конечную электромагнитную массу электрона, а соотношение между энергией и массой как раз такое, какое требуется в теории относительности. Ничего другого не могло и быть, ибо теория релятивистски инвариантна с самого начала.