При δ = w0 решение задачи Коши имеет вид:
(6)
При δ —> w0 общее решение должно переходить именно в него.
В общем случае δ /= w0 решение задачи Коши имеет вид:
(7)
При δ —> w0 частота осцилляций р —> 0, дробь > sin pt/p — > t, cos pt —> 1, и решение (7) переходит в (6). Видно, что хотя формально осцилляции (т. е. члены с синусом и косинусом) в решении (7) сохраняются всегда, но частота их (именно, р) становится столь малой, что на не слишком больших временах (много меньших, чем период колебаний τ = 2π/p >>1) они незаметны. Т. е. отличие δ от w0о можно заметить лишь через очень большое время, и тем большее, чем меньше эта разность, что физически разумно.
Задача: "Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит шар массы M, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар массы m (m < M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с какой-то скоростью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Доказать что при M/m > оо, N/√(M/m) = —> π где N — число соударений малого шара с большим и стенкой."
Утверждается что при:
M/m = 1, N = 3 (всем ежам ясно);
M/m = 100, N = 31;
M/m = 10000, N = 314;
M/m = 1000000, N = 3141,
ну и т. д.
Решение.
Рассмотрим процесс упругого соударения двух шаров. Введем некоторые обозначения. Скорость большего шара обозначим через V1 малого — через v2. Эти скорости — алгебраические величины, т. е. они могут быть любого знака, смотря по тому, в какую сторону движется шар. Так, в начальный момент времени (до соударений) V1(0) < 0, v2(0) = 0. Отношение масс шаров M/m обозначим через x.
Известно, что в системе центра масс (Ц.М.) системы двух шаров столкновение заключается в том, что шары меняют свои скорости на противоположные. Поэтому обозначая скорости шаров в системе Ц.М. до столкновения через, соответственно, V~1- и v~2-, после столкновения — соответственно, V~1+ и v~2+, а скорость самого Ц.М. — через vc, получаем:
Т.е., подставляя (1) в (2), для скоростей шаров после соударения получаем:
После столкновения шаров легкий шар (второй) еще сталкивается со стенкой. При этом скорость тяжелого шара не меняется, а скорость легкого меняется на противоположную: v2+ |-> v2+. Таким образом, если до k-го столкновения шары имели скорости, соответственно, V1(k) и, v2(k), то перед следующим, (л + 1) — м столкновением скорости их будут:
Перепишем эти соотношения в терминах параметра х = M/m:
Станем теперь в каждый момент времени характеризовать состояние системы вектором
Получаем дин. систему:
с начальным состоянием 
Значит, вообще
Обозначим матрицу 
через Т и займемся ее спектральным анализом.
Собственные числа Т находятся из секулярного уравнения
Корни его суть λ± = х — 1 ± 2i√x, а собственные векторы, им отвечающие — суть векторы
Поэтому матрица Т диагонализуется в базисе {e->±}, т. е.
Значит, эволюция нашей системы описывается соотношением:
Перемножая матрицы, получим:
Рассмотрим первую компоненту этого вектора, т. е. скорость тяжелого шара на n-м шаге:
Т.к. λ_ = λ-+, то и λn_=