Ляпунов держался совершенно иной точки зрения, иного стиля творчества. Все его работы безупречны в том, что касается точности математических заключений, ясности и строгости доказательств. Процитировав в одной из своих работ приведенные выше слова Пуанкаре, он тут же веско возразил: «…Я не придерживаюсь такого мнения. Я думаю, что если в некоторых случаях и допустимо пользоваться неясными рассмотрениями, когда желают установить новый принцип, который логически не следует из того, что уже принято, и который по своей природе не может находиться в противоречии с другими принципами науки, однако же невозможно так поступать, когда надо решать определенную задачу (механики или физики), которая поставлена математически совершенно точно. Эта задача становится тогда проблемой чистого анализа и должна быть решаема как таковая». Трудно определеннее и четче обозначить рубеж, на котором разошлись два выдающихся математика, чем это сделал сам Александр Михайлович.
У Стеклова тоже нашлись к Пуанкаре основательные претензии, хотя и более частного порядка. Их-то и высказал он в первом же разговоре с Ляпуновым. Как только прибыл Александр со своими спутниками в Яново, немного понадобилось времени, чтобы завязалась у него с Владимиром ученая беседа. Пока в доме накрывали наскоро стол с закуской, удалились они по дорожке небольшого густолиственного сада.
— Сколько я слежу его работы, Пуанкаре всегда берется за самые насущные, жгучие вопросы дня, — говорил Александр. — Вот и теперь пожелал он расширить действие метода Неймана. То, о чем все толкуют ныне. Всего лишь толкуют, а он вознамерился поправлять недостаток метода.
— Без сомнения, кой-чего он успел, но замысел его не вполне состоялся, — возразил Стеклов.
— Мысли Пуанкаре исключительно свежие и оригинальные, но, пожалуй, несколько торопливые и неокончательные, — согласился Александр. — Однако ж анализ его убедительно показал, что метод Неймана можно распространить на поверхности любой формы. Уж и это не шутка.
— При всем том предположение, без которого он так и не смог обойтись в своих доказательствах, само слишком ограничительно, — продолжал возражать Стеклов. — Потому, хоть и расширил Пуанкаре класс поверхностей, для которых справедлив метод Неймана, не удалось ему достичь самого общего случая. Введенное им условие весьма сужает приложимость метода.
— Вот и надобно избавляться от этого нового ограничения, — подхватил Александр. — Пуанкаре сделал свое дело, не ища далее, и нет сомнений ныне, что потребен вовсе иной подход. Есть у меня надежда, что смогу обойти затруднившее его препятствие и выявить самый общий класс поверхностей, с которыми совместен метод Неймана…
В немногих словах Ляпунов набросал план, по которому намерен был совершить свой замысел.
— В том же направлении подвигаюсь я, но только другим путем, — высказался, в свою очередь, Владимир. — Думаю подработать и приспособить к задаче Дирихле метод, созданный Робеном десять лет назад для задачи электростатики. Вижу в нем много больше того, что находил сам автор.
Вослед своим первым трем публикациям издал Ляпунов в девяносто восьмом году большую статью «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле». Добился он до желаемых результатов: установил общий класс замкнутых поверхностей, для которых справедлив метод Неймана. Роль найденных поверхностей в дальнейших исследованиях задачи Дирихле столь велика, что в России и на Западе ученые назвали их поверхностями Ляпунова. Так свелись воедино имена трех выдающихся математиков: Дирихле, выдвинувшего общую постановку задачи, Неймана, предложившего метод ее решения, и Ляпунова, обосновавшего весьма общие условия применения этого метода.
Именно Владимир строго доказал применимость метода Неймана для поверхностей Ляпунова. До 1902 года, когда Александр Михайлович напечатал завершающее свое исследование «Об основном принципе метода Неймана в задаче Дирихле», появилось несколько статей Стеклова, посвященных той же научной проблеме. Позднее он подытожил: «Все приемы решения основных задач математической физики, как-то: задачи о распределении электричества, задач Дирихле, Гаусса и Неймана и все вытекающие из применения этих приемов следствия… справедливы для любой поверхности Ляпунова». Согласными усилиями ученика и учителя теория задачи Дирихле получила полное обоснование.