От письма к письму держал Ляпунов своего харьковского друга в курсе обстоятельств академической жизни и «психопатического настроения» в Петербурге. Сообщал ему вести не только о Маркове, но и о других петербургских математиках, их общих знакомых. Почти немедленно по переезде поспешил он вновь войти в близкие отношения со своим первым наставником в науке. И по тому, как принял его Бобылев, убедился, что Дмитрий Константинович не позабыл ничего прежнего. Правда, так часто, как ранее, видеться им не доводилось. Почти не бывал Ляпунов в университете, а потому лишь благоприятным случаем удавалось ему встретиться с бывшим своим профессором, ныне членом-корреспондентом Академии наук, и обменяться мыслями по ученым вопросам или по текущим событиям в академических кругах.
Однажды приглашен был Александр Михайлович с женой в дом Бобылевых на званый вечер, на их «журфикс», как выразился он в письме к Стеклову. К полной своей неожиданности попали Ляпуновы на шумное торжество по случаю приезда замужней дочери Дмитрия Константиновича. Народу собралось множество, и все больше молодежь. Хозяева устроили ужин, танцы, в одной из комнат выставили карточные столы.
— Живут довольно-таки открыто, — высказала Наталья Рафаиловна свои впечатления мужу, лишь только оказались они вдвоем в стороне от бурлящей толпы гостей. — Мадам Бобылева, как я погляжу, вполне светская особа, барыня бойкая и на все руки мастерица. Такие же точно дочери ее и сын.
— Дмитрий Константинович все на глаза жалуется, — озабоченно сообщил ей Александр Михайлович. — Доктора говорят, что велика опасность полной и неизлечимой слепоты. Слишком жаль добрейшего старика.
И, несколько помолчав, прибавил:
— Очень уважительно отзывается он о работах Стеклова.
Тот раз действительно много толковали они о Стеклове. Александр Михайлович выдвинул кандидатуру своего ученика в члены корреспонденты. Дмитрий Константинович одобрил его шаг, присовокупив, что должно надеяться на непременный успех. И в самом деле, Стеклова вскоре избрали, о чем и поспешил ему сообщить Ляпунов в очередном письме.
До сих пор в регулярной их переписке не затрагивал Александр Михайлович тем ученого характера. Лишь в начале февраля 1903 года впервые поделился с Владимиром Андреевичем новыми затеями, которые зрели в его голове. Написал Ляпунов, что приспело время заняться ему проблемой, оставленной двадцать лет назад. Написал как о совершенно решенном деле. Будто возвратившись в город, где в далекие дни молодости пробудились к жизни его творческие силы, где начиналось его ученое поприще, разом вспомнил он былые свои интересы и устремления. Сдается, не переставала все эти годы беспокоить его давняя «заноза в сердце»: задача, поставленная перед ним Пафнутием Львовичем Чебышевым, так и осталась непорешенной и вот уже двадцать лет дожидается своего часа. Приступал к ней Александр, едва окончив университетский курс, не обладая еще достаточными математическими ресурсами, чтобы стать в уровень столь серьезной проблемы. Трудность вопроса превышала размеры его наличных сил. С той поры чего-чего не переменилось… Но все возвращается на круги своя: вот снова Ляпунов в Петербурге и снова перед ним та же задача. Только приступает к ней не вчерашний выпускник университета, а ординарный академик, умудренный и знанием и опытностью.
Едва Ляпунов изготовился к делу, как из Харькова пришло ошеломительное и удручающее известие. Сообщал Стеклов, что до него дошли стороной сведения, будто в Париже два года назад вышла книга Пуанкаре о фигурах равновесия вращающейся жидкости. Ляпунов слишком хорошо понимал, что это может означать. Он уже оценил силу математической мысли французского коллеги. В свое время Пуанкаре пришел к одинаковым с ним результатам и, если во все прошедшие годы не оставлял предмет исследования, мог продвинуться уже очень далеко. Добился, но всем вероятиям, до желанной точности решения, раз выступил печатно со своими результатами.
«Благодарю Вас за Ваше сообщение, которое предохранит меня от напрасной потери времени, — пишет Александр Михайлович в ответном послании. — Как это ни досадно, а работу придется теперь бросить, ибо, судя по тому, что Вы пишете, Пуанкаре сделал именно то, что должно было составить предмет моего исследования, и нет сомнения, что он исходил при этом из тех же самых соображений, которые служат точкой отправления в моих изысканиях и благодаря которым я и придавал значение своей работе: иначе он не мог бы сделать шагу в рассматриваемом вопросе».