Дважды в неделю приходил Ляпунов на квартиру Сеченова, получая за уроки по двадцать рублей ежемесячно. Усаживались они в кабинете Ивана Михайловича за своеобразным рабочим столом его, представлявшим большую хорошо выструганную доску, утвержденную на двух козлах, и не поднимались до той поры, пока Мария Александровна не приглашала их к вечернему самовару. Занятия продолжились и после того, как Александру назначили с декабря стипендию — 600 рублей в год. И просвещающий и просвещаемый со всей серьезностью предались их общему делу, не отвлекаясь в учебное время ничем сторонним. Лишь однажды чуть не сорвался у них очередной урок. То было в феврале 1881 года.
Когда Александр явился в урочный час, Иван Михайлович встретил его вопросами:
— Так что ж там делалось, на балу? Чай, междоусобная потасовка была уж начеку?
— Я толком не знаю, потому как сам задержался совсем ненадолго, — отвечал Александр, снимая пальто в прихожей.
Вчерашнего числа в университете состоялся годичный акт, на котором произошли беспорядки. В студенческой массе давно уже наблюдалось сильное движение и возбуждение, вылившееся тем вечером в открытое действие. В середине заседания на хорах университетского зала, заполненных студентами и публикой, послышались громкие возгласы и в зал полетели оттуда кипы прокламаций. Засуетились инспектора и чиновные лица. В поднявшейся сумятице кто-то из демонстрантов изловчился влепить Сабурову, управлявшему тогда министерством народного просвещения, оплеуху в лицо. Среди всеобщей суматохи ректор, делая отчаянные жесты, тщетно призывал с кафедры к порядку и тишине. В конце концов шум прекратили сами студенты, и официальное действо продолжилось. Присутствовавшие со страхом гадали, что произойдет на благотворительном балу, который должен был состояться после заседания. Некоторые из профессоров сочли за лучшее удалиться домой сразу же по окончании акта.
— Открытого беспорядка во время танцев не было, но прокламаций разбросано было достаточно, — рассказывал Александр. — Несколько раз дело едва не доходило до драки между студентами противных убеждений. Атмосфера была до того горяча, что я, не испытывая никакого удовольствия, вскоре покинул бал.
Долго еще обсуждали они происшедшее и вспоминали о скандальном оскорблении, нанесенном Сабурову, позабыв, для какой цели соединились. «Однако ж, призаймемся наконец математикой», — спохватился Сеченов, подвигая к себе листы с записями.
А месяц спустя Иван Михайлович сам отменил очередное занятие, когда узнал, что Александру предстоит на другой день выступать с сообщением в собрании Физического общества. «Давай-ка лучше готовься изо всей поры-мочи», — объявил он категорически.
Ляпунов докладывал результаты кандидатской диссертации, за которую ему присудили золотую медаль. Вскоре работа была опубликована в майском и июньском выпусках «Журнала Русского физико-химического общества» за тот же год. Летом Александр доработал и развил еще одну часть своего сочинения, и в том же журнале появилась другая его статья.
После лета в жизни братьев Ляпуновых вышли перемены. Пришла очередь определиться Борису, выдержавшему весной выпускной экзамен в гимназии. Когда-то, еще в Нижнем, мечтал он поступить в физико-математический факультет, желая идти по стопам старшего брата. Софья Александровна выражала сомнение в его возможностях касательно избранного направления будущей деятельности. Не способности сына заботили ее, а чрезвычайно слабое его здоровье. Мать резонно полагала, что у него недостанет сил для напряженной, изнуряющей умственной работы, которая неизбежна в науках математических. Вскоре интересы Бориса уклонились совсем в иную сторону, и стало ясно, что будущее его — филология. Теперь вопрос заключался в том, где лучше ему учиться. Родственники решительно заявили, что в Петербурге, в своем кругу, прожить будет легче. А потому с сентября Александр оказался уже не один. Поместились они с Борисом у Анны Михайловны, которая уступила им комнату поболе, а там, где жил ранее Александр, устроила свою спальню.
Памятуя о своей наставительной роли старшего брата, Александр взял под полную опеку Бориса, неуверенного и робкого характером и неспособного в практических делах. Вместе прошли они в университет, взнесли плату за первый год обучения — 50 рублей, получили в канцелярии билет на право слушания лекций и университетские правила в придачу. Потом Александр проводил брата в шинельную и помог отыскать по билету его вешалку. Покончив с устроительными мерами, наняли они извозчика и покатили в прогулку по Питеру.