С самых первых своих харьковских дней включился Александр в тяжкий и неустанный труд. Ведь у него не были составлены даже начальные лекции. Располагая читать в Петербургском университете, подготовил он специальный курс по теории потенциала — вопросы, весьма близкие к только что оконченной диссертационной работе, а потому не требующие особенного напряжения. В Харькове же пришлось взяться за механику в целом. Перед каждой лекцией засиживался Ляпунов далеко за полночь. О каких-либо научных исследованиях не могло быть и речи. Преподавание полностью поглощало и силы и время.
И все же пришлось Ляпунову вернуться мыслью к фигурам равновесия вращающейся жидкости, когда в октябре пришло ему письмо из Парижа. Оно не явилось какой-либо неожиданностью, поскольку было ответом на его собственное послание, отправленное во Францию еще из Петербурга.
Минувшей весной, просматривая на досуге свежие номера парижского журнала «Comptes Rendus», в котором публиковались краткие научные сообщения, Александр обратил внимание на заметку Анри Пуанкаре, уже хорошо известного в Европе и в России математика и механика. Поразило и взволновало его нечаянное совпадение: французский ученый обследовал тот же самый вопрос, над которым работал и он последние два года. Нередкий в науке факт, тем не менее всякий раз изумляющий и будоражащий. Нетерпеливо и жадно начал вчитываться Александр в статью. Как и полагалось кратким сообщениям, содержала она лишь полученные автором основные результаты и выводы из них. Все подробности выкладок и доказательств были опущены. Но и при таком сокращенном представлении увидел Ляпунов, что Пуанкаре пришел к тому самому, к чему и он в своей диссертации. Только какая странность! Сходясь с ним в главном — в математических результатах, французский автор совершенно иначе их видел и в ином тоне толковал о них. Александра сразу насторожило столь очевидное различие с его собственным заключением, обличавшее разительное несходство в степени их убежденности.
Потерпев неудачу с задачей Чебышева, Ляпунов достаточно сдержанно говорил в своем труде о том, что после потери устойчивости эллипсоид Якоби может превратиться в новую фигуру равновесия, отличную от эллипсоидальной. Не отвергал он такую возможность, но и не принимал за достоверное. По его понятиям, иначе и быть не могло. Задача решена с ограниченной точностью, лишь в первом приближении, а потому существование новой фигуры не доказано с надлежащей строгостью.
Не то было у Пуанкаре. Он прямо утверждал, что новая фигура равновесия, названная им грушевидной за необычную форму, действительно существует. Значит, французский исследователь оказался более удачлив или более искусен, получив точное решение, приходил Александр к неизбежному выводу. И не подлежало сомнению, что Пуанкаре взял другую дорогу, отличную от той, которой воспользовался Ляпунов. «Ведь мне не удалось достигнуть даже второго приближения, — рассуждал Александр, — которое тоже не дало бы окончательного ответа. Будь оно найдено, все равно оставалось бы сомнение и потребовалось бы решение еще более точное. Нет, тут напрашивается совсем иной подход!» Александр давно уже вывел неутешительное заключение, что избранный им «метод последовательных приближений» нейдет к задаче Чебышева, да переменить было нечем.
Свои сомнения и соображения изложил тогда Ляпунов в письме к французскому коллеге и просил сообщить, в чем состоял его метод, давший ему непреложный ответ. Из краткого сообщения никак невозможно было это уяснить. Одновременно с письмом отослал он экземпляр своей диссертации.
И вот Анри Пуанкаре отозвался и со всей любезностью благодарил Ляпунова за присланную работу. Благодарил и сетовал, что не мог ее прочитать из-за незнания русского языка. «…Но видел из краткого отчета об этой работе, который г. Радо был так добр сделать для меня, что Вы меня опередили по некоторому числу пунктов», — чистосердечно признавал Пуанкаре. Далее французский ученый писал, что собирается выслать Ляпунову оттиск своей статьи, и просил известить его о сходстве и различии их исследований во всем, что касается результатов и методов. «Я составлю в соответствии с Вашими указаниями заметку, в которой воздам Вам должное и которая будет напечатана в «Актах», — обещал он, имея в виду международный математический журнал «Акта Математика».