Моделирование «в отрезках», используемое в системе Л.Г. Пе-
терсон, существенно облегчает детям понимание текстовых
задач, в значительной степени устраняет случайное манипулирование числовыми данными.
В то же время, у некоторых детей складывается представление о том, что моделирование в отрезках есть универсальный метод, пригодный для решения «всех задач».
Мы ограничимся здесь рассмотрением текстовых задач для начальной школы, не включающим в себя задачи «на движение».
Эти задачи, как правило, сводятся к системе двух уравнений с двумя неизвестными.
Задача 1. В первый день портной сшил несколько костюмов, а во второй день сшил их в три раза больше. Сколько костюмов сшил портной в первый день, если за два дня он сшил их 16?
Решение. Пусть х – количество костюмов, сшитых в первый день, у – количество костюмов, сшитых во второй день. В результате имеем систему из двух уравнений специального вида:
у = 3х, (1)
х + у = 16. (2)
Совершенно очевидно, что алгебраическая процедура решения этой системы в точности соответствует процедуре решения при моделировании «в отрезках» (см. рис. 4.1).
Однако, научить ребенка мыслить – это, в сущности, научить его строить разнообразные модели. Наш педагогический опыт показывает, что желательно познакомить детей с задачами, для которых модели «в отрезках» не работают и которые, тем не менее, могут быть решены с помощью несложных и наглядных рассуждений. (Что касается алгебраического подхода к решению текстовых задач, то он, позволяя быстро получить ответ при помощи стандартных операций с символами, не способствует развитию образного и логического мышления.)
Задача 2 (см., например, [5]). Когда на каждую елку село по одному соловью, то один соловей остался без елки. А когда соловьи расселись на елках парами, то одна елка осталась без соловьев. Сколько было елок и сколько было соловьев?
Решение алгебраическое. Пусть х – количество соловьев, у – количество елок. В результате имеем систему из двух уравнений:
х = у + 1, (3)
х = (у – 1)·2. (4)
Подставляя х из (3) в (4), получаем
у + 1 = 2у – 2, (4)
откуда у = 3, х = 4.
Попробуем теперь решить эту же задачу при помощи «моделирования в отрезках». Соотношение (3), конечно, может быть изображено графически; однако, после того как масштаб на рисунке, изображающем соотношение (3), выбран, соотношение (4) изобразить «в отрезках» уже не удается. (Точно так же без предварительных алгебраических преобразований не удается изобразить «в отрезках» и равенство (4).)
Решение арифметическое (основанное на мысленном моделировании).
1. Представим себе ряд из нескольких елок. На каждой сидит по соловью. Один соловей – «лишний», он висит в воздухе рядом с последней елкой – для него не хватило елки.
2. Пересадим «лишнего» соловья на первую елку, на ней теперь два соловья.
3. Пересадим теперь соловья с последней елки на вторую елку. На второй елке теперь тоже два соловья. А на последней елке – ни одного!
4. Никакие елки, кроме первой, второй и последней уже не нужны. Трех елок хватило, чтобы выполнить все условия задачи.
Ответ: три елки, четыре соловья.
В заключение приведем еще одну задачу, также не допускающую моделирование «в отрезках», но легко решаемую при помощи мысленного моделирования.
Задача 3. В школьном саду посадили клены по 16 штук в каждом ряду и столько же лип по 20 штук в каждом ряду, причем рядов получилось на 2 меньше. Во сколько рядов посажены клены?
Решение алгебраическое. Пусть х – количество рядов из кленов, у – количество рядов из лип. Тогда имеем систему:
у = х – 2, (5)
16х = 20у. (6)
Подставляя выражение для у из (5) в (6), получаем
16х = 20(х – 2), откуда х = 10.Нетрудно видеть, однако, что (непосредственно, без предварительных алгебраических преобразований) при помощи моделирования «в отрезках» система (5), (6) не решается.
Решение арифметическое (основанное на мысленном моделировании). Будем пересаживать липы так, чтобы они были посажены такими же рядами, как клены. Для этого выкопаем 4 липы из первого ряда и посадим их в новый ряд за последним рядом лип. Чтобы заполнить первый новый ряд, нужно выкопать по 4 липы из первых четырех старых рядов. Чтобы заполнить второй новый ряд нужно выкопать по 4 липы из следующих четырех старых рядов. Поэтому, посадив липы так же как клены, мы образуем 4 + 4 + 2 рядов.