Ответ: клены были посажены в 10 рядов.
Итак, мы видим, что достаточно обширный класс задач, не поддающийся решению при помощи моделирования «в отрезках», может быть решен арифметическим способом при помощи мысленного моделирования. Этот класс задач, безусловно, должен предшествовать в курсе математики задачам, которые рассчитаны на решение алгебраическим способом.
Замечание. В заключение попробуем охарактеризовать задачи, которые могут быть решены при помощи моделирования «в отрезках».
Прежде всего, это задачи, которые сводятся к системе из двух уравнений с диагональной матрицей (коэффициенты системы предполагаются целочисленными). Иными словами – это системы относительно неизвестных х, у вида
x = p, (7)
mx + ny = q. (8)
Системы вида
x = ay, (9)
bx + cy = d, (10)
(где a, b, c, d – целочисленные коэффициенты) также непосредственно, т.е. без предварительного применения алгебраических преобразований, поддаются решению при помощи моделирования «в отрезках». Обе системы (7), (8) и (9), (10) характеризуются тем, что отрезок, изображающий одно из неизвестных (х или у) может быть выбран с самого начала произвольным образом.
5. УСОХШИЕ ПРОЦЕНТЫВ этом параграфе мы разберем еще одну известную текстовую задачу – «на проценты». Алгебраическое решение этой задачи, как правило, вызывает у учеников недоумение и воспринимается ими в известной мере формально.
Задача. В магазин привезли 100 килограммов ягод, влажность которых составляла 99%. Через некоторое время ягоды немного подсохли, и их влажность стала равна 97%. Сколько стали весить ягоды, привезенные в магазин?
Решение. Обозначим через х вес сухого вещества ягод. Имеем из условия:
х = 100 – 100·0,99 = 1 (кг). (1)
После усушки вес сухого вещества ягод, очевидно, не изменился, поэтому, обозначая через у (общий) вес ягод после усушки, очевидно, приходим ко второму уравнению:
Разрешая систему (1), (2) относительно у, неожиданно получаем:
Ответ: После усушки ягоды стали весить кг.
Итак, усохнув всего-навсего на 2%, ягоды стали почему-то весить втрое меньше…
Продвинутые ученики, понимают, конечно, в чем тут дело, но остальным полученный ответ кажется очень странным и даже неверным.
Тем самым возникает чисто педагогическая проблема – как изложить решение этой задачи, чтобы ее ответ сделался не странным, а, напротив, очевидным?
Как показывает опыт, делу может помочь следующая геометрическая модель (которую, впрочем, редко используют[4]); см. рис. 5.1, где условно принято:
AC = 100 (кг), AB = y (кг),
AD = AD = 1 (кг),
AD = 1% AC, AD = 3% AB.
Глядя на этот рисунок, даже слабые ученики воспринимают тот факт, что если отрезок AD составляет сотую долю известного отрезка AC, а отрезок, составляющий сотую долю от AB, в три раза короче, чем AD, то:
AB =
В результате обращения к этой геометрической модели, задача оказывается не формально «пройденной», а действительно понятой учениками.
6. ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧЕ О МАРШРУТАХХорошо известно следующее правило комбинаторики – так называемое правило произведения. Если нужно выбрать упорядоченную пару элементов (a,b) и первый элемент пары можно выбрать
k способами, а после того как первый элемент выбран, второй элемент можно выбрать m способами, то упорядоченную пару, состоящую из этих двух элементов, можно выбрать k∙m способами.
Доказывается это очень просто. Будем изображать возможный выбор первого элемента пары (a,b) в виде ствола дерева
(см. рис. 6.1), а возможный выбор второго элемента пары – в виде ветки, растущей из верхнего конца ствола (см. рис. 6.2).
Тогда выбору упорядоченной пары вида (a,b) будет соответствовать маршрут от «подножия» одного из k деревьев до верхушки ствола и затем по одной из m веток до самого верха. Нетрудно видеть, что всего таких маршрутов будет
m + m + … + m = m∙k (1)
(слева в (1) k слагаемых). Маршруты мы считаем различными, если они не совпадают хотя бы в одной из своих частей.
Возможна ситуация, когда, например,
Правило произведения легко обобщается на случай, когда требуется сосчитать число возможных способов выбрать упорядоченную тройку элементов или, более общо, упорядоченный набор из n элементов.