В стереометрии основным атомарным телом Демокрит считал пирамиду. Все тела, по Демокриту, могут быть разложены на пирамиды. По разъяснению советского историка античной науки проф. С. Я. Лурье, шар также рассматривался у Демокрита «как сумма чрезвычайно большого числа «иглообразных» пирамид с недоступными чувствам чрезвычайно малыми основаниями, совокупность которых образует поверхность шара, и с вершинами в его центре…» [36, с. 78]. Иными словами, шар получает у Демокрита вид многогранника с недоступно большим для чувств числом граней.
Одной из важнейших особенностей атомистической теории математики было отрицание реальности иррациональных отношений. С тех пор как пифагорейцами была открыта несоизмеримость отношения между стороной квадрата и его диагональю, проблема иррациональности не переставала занимать греческую математическую мысль. Пифагорейцев она не только занимала, но, и тревожила в буквальном смысле этого слова. Ведь пифагорейцы утверждали, будто вещи — числа и будто все сущее может быть выражено числом. Поэтому открытие иррациональности означало для них настоящий кризис математики, казалось, подрывающий самые основы их, философского учения. Именно поэтому открытие это на первых порах сохранялось в глубокой тайне от непосвященных.
Основываясь на принципах атомизма, Демокрит снимает остроту проблемы. По Демокриту, все математические предметы — тела, поверхности, линии — состоят из атомарных, т. е. неделимых, элементов. Но это значит, что никакие иррациональные отношения невозможны. Любое отношение каких угодно величин есть отношение между целыми числами, выражающими количества неделимых атомарных элементов. Диагональ квадрата, так же как и стороны его, состоит из весьма большого числа неделимых элементов, количество которых конечно и всегда может быть выражено целым числом.
Теория эта вступила в противоречие с непререкаемыми результатами геометрии. Для устранения противоречия Демокрит ввел различение видов знания — чувственного и умозрительного. Иррациональное отношение представляется реальным, согласно его объяснению, только для мысли, опирающейся на чувственное восприятие. Такую мысль Демокрит называет «темной». Для нее диагональ и сторона квадрата кажутся сплошными линиями, отношение между ними может быть иррациональным. Но для умозрения, достигающего последних элементов реальности — атомарных элементов, в мире нет ничего иррационального.
Как отнеслись к этой — атомистической — теории математики современные Демокриту и последующие ученые? У них эта теория математики встретила сильное сопротивление. И действительно. Основное воззрение этой теории состояло в отрицании бесконечной делимости тел и величин. Атомистическая теория утверждала, будто такое идущее в бесконечность деление невозможно. Оно невозможно не только как реальное физическое раздробление материальной частицы на все более мелкие части. Оно невозможно даже в мысли — как мысленное продолжение деления, после того как достигнута технически осуществимая граница делимости. Теория Демокрита утверждает, будто для любого тела и для любого математического элемента существует предел делимости. Этот предел и есть атом — наименьшая величина в абсолютном, смысле слова.
Математика, построенная Демокритом на основе этого воззрения, была свободна от внутренних логических противоречий. Однако положения этой математики явно противоречили чувственной интуиции реальности, на которую опиралась современная Демокриту и последующая античная математика. Но Демокрит апеллирует не к чувственной интуиции, не к непосредственному наглядному созерцанию. Его теория имеет в виду объекты, доступные только миру мысли. Теория Демокрита призывала порвать с обычным представлением, согласно которому начавшемуся делению тела или величины принципиально нельзя положить предела.
Склонить к принятию этого взгляда было трудно: доверие к чувственной интуиции было слишком сильно. Поэтому в своем значительном большинстве последующие математики и философы различных школ, в особенности аристотелевской, отвергли теорию Демокрита. Они провозгласили ее разрушающей основы математики. Уже Евклид, вопреки Демокриту, доказывал в первой теореме Х книги своих «Начал», что в процессе последовательных делений любая величина может стать меньше любой заданной величины. Философскую основу для своего утверждения бесконечной делимости любой величины Евклид мог почерпнуть у Аристотеля.
Подавленная в последемокритовское время критикой со стороны математиков и Аристотеля, атомистическая теория математики возродилась впоследствии в материалистической школе Эпикура.
Учение о познанииВ связи с атомистикой Левкиппа и Демокрита находилось их учение о познании. Атомистическая теория поставила перед учением о познании некоторые новые трудные вопросы и дала ключ к решению этих вопросов.
Как мы видели (см. выше гл. II), одним из результатов учения о знании, развитого элейцами, был скептицизм в отношений чувственного знания и резкий разрыв между данными чувственных восприятии и результатами мышления. Поскольку достоверное знание об истинно сущем возможно, знание это, по учению элейцев, может быть только постижением ума. Напротив, чувственные восприятия дают лишь недостоверное, шаткое мнение.
В этом элейском принижении роли чувственного источника познания находил впоследствии опору скептицизм, развивавшийся в некоторых школах древнегреческой философии, например в школе софистов.
Напротив, атомисты в этом вопросе выступили против элейцев. Не менее четко, чем элейцы, они сохраняют различение знания чувственного и интеллектуального. Так же, как элейцы, атомисты утверждают, что чувствам недоступно непосредственное постижение истинно сущих элементов бытия, т. е. атомов. К убеждению в существовании атомов и к определению присущих им свойств приводит ум. Но при этом элейцы полагали, что познание, достигаемое умом, совершенно противоположно чувственным восприятиям. Напротив, атомисты видят в познании посредством ума не противоположность чувственным восприятиям, а их продолжение и углубление, уточнение. Достоверность интеллектуального познания имеет источник в том же чувственном восприятии.
Сохранился отрывок Галена с цитатами из сочинения Демокрита, в котором изображался в форме диалога спор ума с ощущениями. Независимо от диалогической формы из самой последовательности цитат видно, к какому решению спора приходит сам Демокрит. Сначала ум провозглашает чувственно воспринимаемые явления обманчивыми, но затем ощущения указывают, что основа доказательства ума в тех же ощущениях, и, таким образом, торжество ума, кичливо вознесшегося над чувствами, оказывается его поражением.
Аристотель и крупнейший ученый его школы Теофраст надежно засвидетельствовали основную тенденцию Демокрита. По их сообщениям, Демокрит не противопоставлял ум ощущениям и источник достоверного знания видел в ощущениях, в отличие от Анаксагора, у которого ум резко отделяется и отличается от чувственно воспринимаемых «семян» вещей. Демокрит, по Аристотелю, «смотрит на ум не как на силу, которою постигается истина, а отождествляет его с душой» [De anima,I,2,404a;12,c.l9 — 20].
Отождествление ума с ощущением, о чем говорит Аристотель, тесно связано у Демокрита с мыслью, что знание, доставляемое ощущениями, — истинное знание. Так, по крайней мере, толкует взгляд Демокрита Аристотель. «…Благодаря тому, — пишет Аристотель, — что за разумное мышление они (Демокрит, Анаксагор и др.) принимают чувственное восприятие… им приходится объявлять истинным все, что представляется отдельному человеку по свидетельству чувственного восприятия» [Met., 111,5, 1009 в; 7, с. 70].
Могло бы показаться, что здесь у Демокрита противоречие. С одной стороны, чувственное явление он признает истинным. С другой стороны, он резко подчеркивает, что не все качества, открываемые посредством ощущения, существуют в самих вещах. Так, ни цвет, ни звук, ни запах, ни тепловые различия и т. п. не существуют в самой действительности.