При m<p амплитуда С приближается к статической деформации вала.
При m=p амплитуда С достигает больших величин, наступает явление резонанса вала.
В отсутствии сопротивлений произойдет разрушение вала через определенный промежуток времени.
При m>p амплитуда С стремиться к нулевому значению, колебания отсутствуют.
Приведем график амплитуд колебаний:
Как видно из рисунка, при резонансной частоте происходит разрыв кривой прогиба вала и разрушение вала.
При расчете вала необходимо не допускать наличия расчетных частот в пределах биения, то есть в пределах близких к резонансной частоте для недопущения разрушения вала. Запас может превышать критическую частоту на 20%. Такой запас, например, установлен для валов центробежных нефтяных насосов в ГОСТ 32601.
При сложении свободных и вынужденных колебаний получается результирующее колебание как результат наложения колебаний, колебание получается в форме биений:
Для описания положения мешалки используется обобщенная координата, то есть независимая величина, которая определяет изменение формы оси вала (положение системы).
Обобщенной силой является сила, которая полностью определяет действующую систему сил.
Обобщенная координата и сила связаны формулировкой: в результате произведения приращения обобщенной координаты на обобщенную силу получается работа.
Движение вала с мешалкой описывается уравнениями в обобщенных координатах. Между обобщенными координатами и декартовыми координатами всегда существует зависимость в виде функции декартовых координат от обобщенных координат.
Из общего уравнения движения системы, полученного в декартовых координатах, получают уравнение движения в обобщенных координатах. В результате получается запись:
Для кинетическая энергия системы
находится производная по обобщенным координате и скорости и после преобразований:
Уравнение движения запишется в виде
Силы, действующие на вал, зависят только от положения и не зависят от времени, скорости. В этом случае, согласно теоремы Кастильяно, обобщенная сила равна производной потенциальной энергии (при этом совершаемая работа переводит потенциальную энергию в кинетическую):
По теореме Кастильяно [5,с.319] прогиб точки приложения сосредоточенной силы (P) равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе, а производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна обобщенному перемещению:
В результате получается уравнение движения Лагранжа:
__
Равновесное положение системы вала принимается за начало обобщенных координат, т.е.
Кинетическая и потенциальная энергии системы:
-
коэффициенты инерции,
– коэффициенты жесткости.
Существует форма записи обобщенного закона Гука [5,с.314], связывающая все силы и перемещения:
В условиях равновесия:
С учетом этого, уравнение Лагранжа можно записать в виде системы линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
Частными решениями уравнений системы будут уравнения:
В частных решениях (j = 0, 1,2,3…s): 
Частным решениям соответсвуют резонансные частоты колебаний.
Для неизвестных 
получают систему линейных однородных уравнений подстановкой полученного частного решения в приведенную систему уравнений (основные уравнения система малых колебаний с s степенями свободы):
Полученная система уравнений имеет решение, отличное от нуля в случае равенства нулю определителя этой системы.
На этом основании записывается вековое уравнение (уравнение частот). Вековое уравнение является уравнением s-степени относительно :