В действительности маловероятно, чтобы Архимед бегал по городу в таком виде, да еще крича, как безумный. И все- таки эта легенда, должно быть, основана на каких-то реальных фактах, ведь ее в деталях передают различные историографы. Самым ранним свидетельством мы обязаны римскому архитектору Витрувию, и здесь стоит привести наиболее важную его часть, взятую из трактата «Десять книг об архитектуре»:
«Что же до Архимеда, то из всех его многочисленных и замечательных открытий приводимое мною является, несомненно, доказательством прямо-таки безграничной его изобретательности. А именно, когда Гиерон, достигший царской власти в Сиракузах, после удачного завершения своих предприятий решил по обету бессмертным богам поместить в одном из храмов золотую корону, он заказал сделать ее за определенную плату и отвесил нужное количество золота подрядчику. В назначенный по договору срок тот доставил царю тонко исполненную работу, в точности, видимо, соответствовавшую весу отпущенного на нее золота. После же того как сделан был донос, что часть золота была утаена и при изготовлении короны в нее было примешано такое же количество серебра, Гиерон, негодуя на нанесенное ему оскорбление и не находя способа доказать эту покражу, обратился к Архимеду с просьбой взять на себя разрешение этого вопроса. Случилось так, что в то время как Архимед над этим думал, он пошел в баню и, садясь в ванну, заметил, что чем глубже он погружается в нее своим телом, тем больше через край вытекает воды. И как только это указало ему способ разрешения его вопроса, он немедля, вне себя от радости, выскочил из ванны и голый бросился к себе домой, громко крича, что нашел то, что искал; ибо на бегу он то и дело восклицал по-гречески: «Эврика! Эврика!»
Закон Архимеда изучают во всех школах мира — это один из физических постулатов, которые легко понять интуитивно. Любой человек испытывал уменьшение своего веса при погружении в бассейн, видел летящие воздушные шарики, смотрел на лодки, плавающие по морю, помнит кадры с подводными лодками, спускающимися в океанские глубины. Это только немногие примеры, в основе которых лежит закон Архимеда. Но в его эпоху многие понятия были еще неизвестны или только исследовались. Так, ему пришлось вводить понятие удельного веса (плотности), чтобы иметь возможность объяснить явление плавучести. Тем не менее он ничего не знал о понятии силы, которое в наши дни используется для изучения закона Архимеда, носящего теперь еще одно название: закон гидростатики. Есть много способов его формулировки, один из самых распространенных: «На всякое тело, полностью или частично погруженное в воду или иную жидкость, вертикально вверх действует выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной телом». Используя современную терминологию, выталкивающая сила и вес — это две силы, и надо было ждать времен Ньютона, чтобы получить серьезное и точное математическое описание этих величин. Однако закон Архимеда можно трактовать и с помощью геометрических инструментов или пользуясь понятием плотности.
Вес тела в воздухе всегда больше его веса в жидкости. Кажущийся вес в жидкости будет равен реальному весу минус выталкивающая сила. Так что способ вычислить выталкивающую силу Fe, которой подвергается тело,состоит в том, чтобы измерить его вес в воздухе Fp, затем в жидкости F'р и вычесть одно из другого: Fe=Fp-F'р.
Архимед знал, что тело, погружаясь в воду (здесь и далее под водой понимается любая среда, будь то жидкость или газ), должно вытеснить равное объему погруженного тела количество воды. Вот почему рассказ о ванной служит хорошей иллюстрацией для закона гидростатики: если поместить тело в ванну, полную воды, часть жидкости выльется, то есть отправной пункт такой: Vпогруженной части = Vвытесненной воды
С точки зрения приложения сил получается, что вода (или другая среда) действует выталкивающей силой на погруженное тело (см. рисунок на стр. 42). То есть сила FE по модулю равна весу Fp вытесненной воды. Это значит FE = FР(воды). Вес (сила действия тела на опору или подвес) вытесненной воды равен произведению ее массы на земное ускорение (значение которого у поверхности земли составляет примерно 9,8 м/с²): FР(воды) = mводы • g. Добавив математическую формулу расчета плотности, то есть dводы = mводы/Vводы , можно резюмировать: FР(воды) = Vводы • dводы • g. Мы уже говорили, что объем вытесненной воды равен объему погруженной части тела, из чего выводится FР(воды) = Vтела • dводы • g. Наконец, опустив нижние индексы, поскольку вес вытесненной воды равен выталкивающей силе, действующей на тело, мы можем сформулировать закон гидростатики с помощью уравнения FE= V • d • g, где FE — это выталкивающая сила, которую испытывает тело, измеряющаяся в ньютонах (Н, данная единица измерения названа в честь Ньютона); V — объем погруженной части тела, измеряемый в м³; d — плотность среды, измеряемая в кг/м³; a g — ускорение свободного падения.