Как это бывает с любой легендой, история короны тирана Гиерона — отчасти правда, а отчасти миф. Можно утверждать, что элемент выдумки есть даже в самом методе, приписываемом Архимеду, с помощью которого он раскрыл обман хитрого ювелира.
Конечно, Архимед мог вывести ремесленника на чистую воду, но с помощью другого, более сложного метода, использовав для этого не только закон гидростатики, но и закон рычага. Посмотрим описание данного открытия, сделанное Марком Витрувием:
«Тогда, исходя из этого открытия, он, говорят, сделал два слитка одинакового веса с короной — один из золота, другой из серебра. Сделав это, он взял объемистый сосуд, наполнил его до самых краев водой и опустил в него серебряный слиток, при погружении которого вода вытекла в количестве, равном величине слитка. Вынув затем слиток, он долил воды, отмерив ее секстарием, так, чтобы она опять сравнялась с краями, как и раньше. Так он определил, что серебро по весу соответствует известному количеству воды. Проделав этот опыт, он подобным же образом опустил в наполненный сосуд золотой слиток и, вынув его, нашел посредством прежнего измерения, что воды убавилось не столько же, а меньше, насколько меньше был объем золотого слитка сравнительно с равным ему по весу серебряным. После же этого, вновь наполнив сосуд и опустив в то же количество воды саму корону, он нашел, что воды вытекло больше, чем при погружении золотого слитка такого же веса; и таким образом, исходя из того, что корона вытеснила больше воды, чем слиток, он показал примесь в золоте серебра и обнаружил покражу подрядчика».
Хотя метод теоретически совершенно правильный, заметим, что вряд ли Архимед пользовался именно таким способом, как описано выше. Сложность состоит в измерении объемов. Сначала для лучшего понимания проблемы упорядочим шаги, описанные Витрувием.
1. Архимед взял два куска материала, про весу идентичные короне, — кусок серебра (mр) и золота (mo).
2. Затем он погрузил серебро в определенное количество воды, из-за чего вылился некоторый ее объем Vp, который ученый измерил.
3. Потом он погрузил золото в такое же количество воды, отчего вылился объем Vo жидкости, который он также измерил.
4. Архимед обнаружил, что Vp больше, чем Vo.
5. Наконец, он опустил настоящую корону в то же количество воды, и она вытеснила объем Vo этой воды, который он тоже измерил.
Иллюстрация к легенде, согласно которой Архимед нашел решение задачи с короной Гиерона,когда находился в общественной бане. 1575 год.
Среди фраз, которые приписывают Архимеду, самая известная — «Дайте мне точку опоры,и я переверну Землю». Ее цитирует Папп Александрийский в VIII книге «Математического собрания». Рисунок воспроизводит гравюру из берлинского издания Фридриха Отто Хулча 1878 года.
6. Ученый выяснил, что объем V, вытесненный короной, больше, чем объем воды, вытесненной золотом, и меньше, чем объем, вытесненный серебром ( Vp > Vc > Vo). Это доказало, что в короне была примесь серебра, то есть она состояла не из одного золота.
Теперь давайте воспроизведем этот опыт на наиболее правдоподобном примере, исходя из реальных данных, которыми мы располагаем, и следуя изложенному выше алгоритму, чтобы выявить, если необходимо, противоречия. Мы помним, что, как было отмечено ранее, любой погруженный в воду предмет вытесняет количество воды, равное его объему. Объем предмета можно вычислить исходя из его плотности и массы по известной формуле: d = m/V.