1. Чтобы не мелочиться, возьмем в качестве примера самую большую из сохранившихся золотых корон эпохи Архимеда. Речь идет о «венце из Вергины» (город в нынешней греческой Центральной Македонии), датированном IV веком до н. э. Этот венец имеет массу 714 г и диаметр 18,5 см. Учитывая, что некоторые из его листьев утеряны, и для облегчения расчетов примем массу короны за 1000 г. Итак, для опыта у нас есть 1000 г серебра, 1000 г золота и корона аналогичного веса, состав которой и является предметом эксперимента.
2. Теперь, в качестве второго шага, мы опускаем 1000 г серебра в воду. Так как плотность серебра равна 10,5 г/см³, объем вытесненной воды будет 95,2 см³:
3. Третьим шагом будет погружение в воду 1000 г золота. Поскольку его плотность составляет 19,3 г/см³, вытесненный объем воды будет 51,8 см³:
4. Объем воды, вытесненной 1000 г серебра, больше, чем объем воды, вытесненной 1000 г золота, так как плотность серебра меньше, и та же его масса занимает больше места.
5. Наконец, в воду опускается корона, и замеряется количество вытесненной ею воды. Тут надо сделать еще одно добавление. Предположим, что к золоту короны примешано 30 % серебра.
6. После погружения короны в воду можно заметить, что она вытесняет большее количество воды по сравнению с золотом и меньшее — по сравнению с серебром. Согласно нашему предположению, 30% от 1000 г короны составляет серебро и 70 % — золото:
Объем воды, вытесненной короной (64,8 см³), больше, чем вытесненной золотом (51,8 см³), что могло бы доказать обман ювелира.
Но как измерить столь малые объемы? Заметьте: разница составляет всего 13 см³, что примерно равно объему пары орехов.
В истории предлагались разные методы измерения, рассмотрим два из них — измерить уровень оставшейся в сосуде воды или собрать вытесненную воду в другой сосуд. Первый вариант, по-видимому, невероятен для той эпохи и выглядит приемом, далеким от возможностей Архимеда. Согласно первому способу, после погружения короны и других металлов в сосуд вода поднимется на некоторую высоту. Если сосуд цилиндрический (см. рисунок), то и поднимающаяся вода имеет форму цилиндра. Предположим, диаметр сосуда равен 20 см, тогда поверхность воды имеет площадь 314 см². С этими данными мы можем вычислить высоту (А), на которую поднимется вода в каждом из случаев:
Объем цилиндра высчитывается умножением площади его основания на высоту.
Это означает, что разница в уровнях между короной из золота и короной из сплава составит (ho - hо = 0,4 мм), то есть меньше чем полмиллиметра! Напомним, что представленные расчеты приблизительны, но в любом случае от перемены изначальных допущений разница в результатах изменилась бы очень мало. Кроме того, допущения были сделаны таким образом, чтобы получить самые поддающиеся измерению величины. Возможно ли, чтобы Архимед смог измерить эту разницу? Вряд ли, ведь столь малая величина еще и сочетается с мениском, искривлением поверхности жидкости в сосуде из-за взаимодействия со стенками данного сосуда.
Итак, отвергнув первый вариант, некоторые ученые решили, что Архимед собирал вытесненную воду в отдельный сосуд, то есть приняли вариант Витрувия. Для этого он, вероятно, использовал водяные часы — клепсидру, то есть простой резервуар с небольшим отверстием, через которое вытекает вода. Эта гипотеза подкреплялась и тем фактом, что подобный инструмент измерения времени был широко распространен еще со времен Древнего Египта. Ведь и грек Ктесибий изобрел свои усовершенствованные водяные часы во времена Архимеда. Для использования метода клепсидры необходимо выполнить следующие шаги.
Шаг 1. Отверстие закрывается, и резервуар наполняется водой так, чтобы при опускании в него тела вода не перелилась через край.
Шаг 2. В резервуар погружается золотой слиток, по весу равный короне.
Шаг 3. Отверстие открывается, и вода вытекает через него, пока не перестанет течь.
Шаг 4. Слиток вынимается, и отверстие закрывается.
Шаг 5. В резервуар погружается корона.
Шаг 6. Отверстие открывается. Если вода вытекает из него, это значит, что корона по объему больше золотого слитка, то есть изготовлена из сплава и содержит другое вещество. Если вода доходит только до уровня отверстия, значит корона золотая.
Опытным путем доказано, что таким способом можно измерить разницу в 10 см³ — это и есть примерно тот объем, о котором идет речь. В любом случае в рассказе Витрувия ничего не говорится об использованных Архимедом средствах, а значит, у нас нет доказательств того, что он воспользовался именно таким методом. Тем не менее применение обоих упомянутых способов (замер высоты воды и клепсидра) вполне можно себе представить в эпоху Архимеда. Но любой исследователь в своей работе старается опираться на тексты самого математика, а не только на вторичные источники, как в случае с Витрувием или последующей литературой. Поэтому утверждение, что приведенные римским архитектором сведения могут быть и неверными, вовсе не означает презрения к таланту Архимеда; как раз наоборот, поскольку можно сделать предположение, что его гений пошел еще дальше. Ведь мы упоминали о его трудах, посвященных рычагу. Почему бы ему не использовать данный принцип и для решения задачи с короной? Давайте рассмотрим предположение, которое выдвигают многие специалисты. Как мы показали предыдущими расчетами, 1000 г чистого золота и корона весом 1000 г вытесняют разное по объему количество воды, а значит, разное и по массе. Мог ли Архимед измерить разницу в количестве воды в 13 г? Да, мог, но не измерением уровня воды и не методом клепсидры. Он мог бы измерить ее с помощью равноплечих весов, которые ученый применял на протяжении всей жизни.