Теперь доказано, что количество песка в (объеме), равном по величине тому, что большинство астрономов называют миром, меньше чем 1000 единиц седьмых чисел. [...]
[...] Ясно, что количество песчинок в (объеме), равном по величине сфере неподвижных звезд, как ее мыслит Аристарх, будет меньше, чем тысяча мириад (единиц) восьмых чисел.
Архимед Досифею
Узнав о смерти Конона, делавшего все для нас из дружбы, и о том, что ты был близок к Конону и сведущ в геометрии, мы очень опечалились о покойном и как о друге, и как о выдающемся математике. Поэтому мы решили написать тебе, подобно тому как обычно писали Конону, и послать некоторые геометрические теоремы, остававшиеся ранее неизвестными, а теперь полученные нами; они были сначала обнаружены нами при помощи механических методов, а затем доказаны также и геометрически.
Утверждение 21
Если в сегмент, заключенный между прямой и параболой, вписать треугольник, имеющий с сегментом то же самое основание и ту же высоту, а в оставшиеся сегменты вписать другие треугольники, имеющие те же самые основания и высоты, что и у этих сегментов, то треугольник, вписанный в весь сегмент, будет в восемь раз больше каждого из треугольников, вписанных в сегменты, оставшиеся [по краям].
Утверждение 23
Если взять несколько величин, образующих непрерывную пропорцию в отношении четырех к одному, то все эти величины вместе, сложенные с третьей частью наименьшей, составят четыре трети наибольшей.
Утверждение 24
Всякий сегмент, заключенный между прямой и параболой, составляет четыре трети треугольника, имеющего с ним одно и то же основание и равную высоту.
Книга I
Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим.
Утверждение 2
Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли.
Утверждение 3
Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз.
Утверждение 4
Тело более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости.
Утверждение 5
Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующей погруженной (части тела), имел вес, равный весу всего тела.
Утверждение 6
Тела более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела.
Утверждение 7
Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела.
Книга II
Утверждение 1
Если какое-нибудь тело, более легкое, чем жидкость, опустить в эту жидкость, то оно по тяжести будет находиться в том же отношении с жидкостью, какое погруженный объем имеет ко всему объему.
Поскольку так называемый стомахион может служить предметом разнообразных теорий относительно перестановок составляющих его фигур, то я счел необходимым сначала рассказать о его величине, об отдельных его частях, на которые он разделяется, о том, чему каждая из них может быть уподоблена...
Архимед приветствует Эратосфена.
[...] Зная, что ты являешься, как я всегда говорю, ученым человеком и по праву занимаешь выдающееся место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, я счел нужным написать тебе и в этой же самой книге изложить некоторый особый метод, благодаря которому ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная.