Давайте посмотрим на запись закона всемирного тяготения Ньютона, связывающего силу притяжения F между двумя материальными точками, в которых сосредоточены массы M и m, разделяемые расстоянием R: F = GMm/R2, — и осознáем одну неприятную вещь. А именно: значение коэффициента пропорциональности G = 6,672 ·10–11 H · м2/кг2, называемого гравитационной постоянной, очень малó в знакомых нам единицах измерения (метры, килограммы, ньютоны). Если сто граммов (столько весит полстакана воды) положить на ладошку — это будет сила тяжести в один ньютон.
Прикинем, каковы гравитационные силы. Пусть каждый из вас весит порядка ста килограммов (не хочу никого обидеть, а лишь округляю для простоты вычислений) и вы находитесь в аудитории на расстоянии 1 метра друг от друга. Подставляем эти значения в формулу и находим силу взаимного притяжения: F ~10–10 · 100 · 100/12 = 10–6 Н, это одна миллионная от силы в 100 граммов, или 1/10 миллиграмма. Это притяжение друг к другу вы не ощущаете, хотя закон говорит, что оно есть. То есть гравитация — самая слабая из всех природных сил, она практически неощутима. Почему же мы чувствуем, что нас притягивает к сиденью?
Очень малое значение гравитационного коэффициента говорит о том, что только большие массы могут ощутимо взаимодействовать друг с другом. Например, масса всей Земли — большая, поэтому мы ощущаем притяжение к ней. А сидя рядом друг с другом, даже и не догадываемся, что существует сила гравитации.
Есть и другая особенность. Если сравнить значение этой физической константы с другими, например зарядом электрона e = 1,60217739 · 10–19 Кл, что сразу бросается в глаза? Огромная разница в количестве значащих цифр. Естественно задать вопрос: электроном, значит, физики интересуются, измерили его заряд до десяти значащих цифр, а гравитацию почему-то проигнорировали? Почему они не хотят измерить ее точно?
Отнюдь нет — хотят, но не могут. Ведь в формулу наряду с G входит величина M, но откуда мы можем знать массу Земли — кто-то ее взвешивал? Ее ведь на весы не положишь. Ускорение свободного падения a = F/m, а значит, и произведение G · M мы можем измерить точно. Но чтобы отделить их друг от друга, надо действовать как-то по-другому. Например, можно сначала взвесить тело на весах, а потом посмотреть, как оно притягивает соседей. Для этого «древний» английский физик Дж. Мичелл (1793) придумал крутильные весы (рис. 2.2, 2.3) — очень чувствительный прибор, с помощью которого другой английский физик, Г. Кавендиш (1798), впервые измерил силу гравитационного притяжения двух лабораторных тел и определил значение гравитационной постоянной Ньютона. В нашем институте (Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга, МГУ) сделали такую же и потом очень долго мучились, чтобы решить типичную для физиков проблему: отделить от изучаемого явления все паразитные эффекты.
Рис. 2.2. Схема крутильных весов, на которых Генри Кавендиш измерял гравитационную силу.
Сначала в этой константе была уверенно измерена только одна значащая цифра, в XIX веке узнали вторую, в середине XX века появился третий знак, совсем недавно — четвертый. Пятый еще пока пытаются выяснить: даже при использовании самых лучших методов он у всех определяется по-разному, большей точности достичь не получается.
Рис. 2.3. Принципиальная схема крутильных весов.
Движение двух тел
Единственное тело в абсолютной пустоте будет лететь по прямой, потому что никакие внешние силы на него не действуют, — это случай тривиальный и неинтересный. А простейшей задачей небесной механики считается задача двух гравитационно взаимодействующих тел. Но ее можно еще упростить, если взять одно тело очень массивное, а другое очень маленькое. Малое тело движется под влиянием центростремительного ускорения, а большому безразлично, что там вокруг него бегает, фактически оно не «чувствует» чужого присутствия и поэтому неподвижно. Эта ситуация называется задачей одного тела в центральном гравитационном поле (рис. 2.4).
Рис. 2.4. Задача двух тел начинается с задачи о движении одного тела в центральном поле.
Рис. 2.5. Легкий спутник на круговой орбите очень большого радиуса.
Если начало системы координат совместить с массивным телом, то вследствие его неподвижности такая система координат будет инерциальной. И это может оказаться очень полезным. Например, для космического аппарата мы можем записать, что действующее на него центростремительное ускорение равно отношению силы гравитационного притяжения к его массе: