Если он обращается на достаточно дальней круговой орбите (рис. 2.5), то, выполнив простое преобразование этой формулы, можно однозначно связать орбитальный период с массой притягивающего тела. Собственно говоря, это единственный надежный метод для определения массы планеты:
Но задача становится сложнее, когда спутник находится близко к планете: при этом уже нельзя пренебрегать ее размером и формой (рис. 2.6). Казалось бы, это задача очень сложная, потому что для решения надо вычислить притяжение спутника к каждой точке планеты и сложить векторы сил. Та же проблема у геофизика, который интересуется внутренностью планеты и хочет узнать, какова гравитация на нужной глубине: ему надо бы вычислить притяжение ко всем точкам внешней части и ко всем точкам внутренней части. К счастью, еще Ньютон доказал две простые, но очень полезные теоремы, значительно облегчающие вычисления, — и за это ему спасибо.
Рис. 2.6. Легкий спутник на круговой орбите малого радиуса.
Первая теорема говорит о том, что если у вас есть однородная по плотности сферическая оболочка, то внутри нее гравитация отсутствует и ускорение везде равно нулю. Доказательство можно продемонстрировать на пальцах. Для этого помещаем в произвольное место полости пробный шарик и смотрим, какие силы на него действуют со стороны двух диаметрально противоположных бесконечно малых сегментов (рис. 2.7, где сегменты для наглядности показаны большими):
Рис. 2.7. Теорема Ньютона о гравитации внутри однородной сферы.
Площади и массы обоих сегментов прямо пропорциональны квадрату расстояния, а сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, значит, оба оказывают на эту точку одинаковое по величине, но противоположно направленное влияние, то есть силы уравновешиваются. Таким образом, где бы ни находилось тело внутри оболочки, оно пребывает в состоянии невесомости. Более того: когда вы свободно падаете без опоры, вы тоже испытываете невесомость в течение короткого времени, пока не упали, а в полости вообще нет гравитационной силы, и «падать» там можно бесконечно долго.
Рис. 2.8. Теорема Ньютона о гравитации вне однородной сферы (в точке А).
Теперь из последовательности таких оболочек мы можем собрать всю планету целиком и понять, что для вычисления ускорения свободного падения в какой-то внутренней точке достаточно учитывать только более глубокие слои. А принимать во внимание наружные по отношению к рассматриваемой точке слои, которые лежат поверх нее, т. е. ближе к поверхности, нет необходимости, потому что они никакого влияния не оказывают. В частности, это приближение верно для Земли, у которой плотность к центру растет, при этом на каждой выбранной глубине она под любой точкой поверхности почти одинакова. Геофизики «молятся» на эту теорему Ньютона, потому что она позволяет им легко вычислять гравитационное поле внутри шаровидных (сферически симметричных) космических тел. Но для тел другой формы это уже не справедливо.
Вторая теорема Ньютона касается притяжения однородной сферической оболочкой тела, расположенного снаружи. Оказывается, в этом случае оболочка действует на внешнее тело так же, как и материальная точка с той же массой в центре сферы. Для доказательства нужно вычислить гравитационную потенциальную энергию точечного тела единичной массы в зависимости от расстояния от этой точки до кольца, вырезанного в сфере (рис. 2.8). При этом ничего более сложного, чем теорема косинусов, не требуется.
Пусть у сферы единичная поверхностная плотность. Тогда потенциальная энергия в поле шарового пояса определяется так:
Потенциальная энергия в поле всей сферы:
Ускорение в точке А:
Из серии сферических оболочек можно собрать массивную шаровидную планету или звезду, а значит, в ее поле тяготения движение всех малых объектов — как спутников, так и тел, пролетающих мимо, — можно рассчитывать в приближении, будто вся масса шара сосредоточена в центральной точке. Этот факт очень важен для астрономов, потому что все достаточно крупные космические тела почти сферичны, если они не очень быстро вращаются (иначе они становятся эллипсоидами и эти теоремы перестают работать).