Теперь давайте представим себе мир, в котором гравитация устроена не по Ньютону. С помощью простенькой компьютерной программы интегрирования уравнений движения попробуем «поиграть» с законом гравитации, меняя показатель степени m при расстоянии R в формуле Ньютона (рис. 2.9). В классическом случае m = 2. Запускаем пробное тело вокруг точечной массы и получаем ожидаемый результат: пробное тело бегает по одному и тому же эллипсу.
Если сделаем зависимость гравитации от расстояния более жесткой, увеличив показатель степени чуть-чуть, всего на 10 %, то получится вот что: вроде бы движение происходит тоже по эллипсу, но он не остается неизменно ориентированным, его ось понемногу поворачивается — происходит прецессия оси. Теперь возьмем зависимость F (R) немного мягче ньютоновой, уменьшив m на 25 %. При таком законе тоже вырисовывается похожий эллипс, только вращающийся в противоположном направлении. Интересно, что если задать совсем уж невообразимый вариант m = 1 (т. е. F ~ 1/R), то угловая скорость прецессии оси становится близкой к угловой скорости обращения спутника.
Рис. 2.9. Движение частицы в разных силовых полях.
Несмотря на то что движение кажется хаотичным, можно заметить, что во всех рассмотренных случаях есть границы движения, за которые тело никогда не вылетает. Механики называют такое движение финитным, то есть ограниченным в пространстве. Если бы у нас, например, в законе Кулона показатель степени при расстоянии вдруг «поплыл», то электрон по крайней мере не убежал бы от ядра и не упал бы на него: ну, двигался бы немного более «хитро», чем в нашем мире, но с этим жить можно. Главное — что атом остался бы стабилен, не распался бы.
Эти численные эксперименты — вовсе не блажь. Дело в том, что Ньютонов закон действителен только в слабых гравитационных полях; он является, так сказать, лишь первым приближением к реальности. А если вы возьмете уравнения общей теории относительности и на их основе попытаетесь получить ньютоновское приближение, то к основному компоненту G M/R² добавятся поправки — слагаемые, растущие с увеличением потенциала гравитационного поля. То есть в общей теории относительности гравитация более круто зависит от расстояния, чем в теории Ньютона. Поэтому есть особенность приближения к объектам очень большой массы, но малого размера.
Рис. 2.10. Движение тела вблизи черной дыры. Расстояния по осям указаны в гравитационных радиусах черной дыры (rg).
Вот как замысловато будут кружить объекты в окрестности черной дыры (рис. 2.10): на каждом обороте (от апоцентра до апоцентра) эллипс разворачивается на 180°. При этом происходит не медленный дрейф оси, как в ранее рассмотренных случаях, а прыжки сразу на полоборота. Так что наши «игры» с законом притяжения имеют смысл: они позволяют моделировать реальное гравитационное поле вблизи массивных, плотных объектов: нейтронных звезд и черных дыр.
А вот теперь я увеличил показатель на целую единицу (m = 3), сделав зависимость еще более жесткой по сравнению с ньютоновой: F ~ 1/R3. Что мы видим: движение становится инфинитным, то есть пространственно неограниченным (рис. 2.11). Конечно, в принципе можно найти для частицы, находящейся на некотором расстоянии от тяготеющего центра, такую скорость, при которой частица пойдет по круговой орбите. Но это движение будет неустойчивым: стоит на какую-то мизерную долю изменить эту скорость, и частица, двигаясь по спирали, либо упадет на центр притяжения, либо навсегда уйдет от него. А в реальности какие-то случайные флуктуации всегда есть. Следовательно, в таком потенциальном поле ни атомов, ни планетных систем существовать не может.
Рис. 2.11. Движение в поле F ~ R–3 принципиально отличается от кеплеровского.
Доказано (это довольно легко сделать), что в законах, описывающих силовые поля, показатель степени m связан с геометрической размерностью физического пространства: он во всех случаях на единицу меньше, чем размерность пространства. Отсюда следует, что из записи фактических законов Кулона и Ньютона мы можем сказать, что наше пространство трехмерное и что четвертого пространственного измерения у нас нет, иначе все давно потеряло бы устойчивость, потому что атомы развалились бы.
Орбитальные параметры