Рис. 2.16. Зависимость формы орбиты от направления начальной скорости (при модуле, равном круговой скорости).
Итак, если мы придали телу первую космическую скорость точно в направлении, перпендикулярном вектору расстояния, то оно выйдет на круговую орбиту (рис. 2.16). Но если вы ошиблись с направлением, то получите вовсе не круг, а эллипс, хотя модуль скорости и был правильным! Это очень большая проблема для инженеров, которые планируют космические запуски: малейшее отклонение — и насмарку все труды: спутник может даже войти в атмосферу Земли и сгореть. Обратите внимание, когда запуск космической ракеты долго показывают: сначала она вертикально уходит в стратосферу, а потом постепенно поворачивает, поворачивает, поворачивает — и на высоте 50–70 км начинает двигаться уже параллельно поверхности Земли, и ей надо набрать соответствующую высоте первую космическую скорость, иначе она упадет обратно на планету.
Для тела, равномерно движущегося по круговой орбите, можно легко записать выражения для его кинетической и потенциальной (гравитационной) энергии:
Потенциальная энергия отрицательна, потому что это энергия связи двух тел. Полная энергия тела, движущегося с первой космической скоростью, в точности равна кинетической по модулю, но они имеют разные знаки. Мы вывели эту формулу только для кругового движения, но оказывается, что при усреднении по времени она справедлива для движения по эллиптической орбите (при этом нужно заменить R на a) и для стационарной системы гравитационно взаимодействующих точек, — это называют теоремой вириала. Это очень важная теорема, особенно для тех, кто занимается изучением одновременного движения многих тел — скажем, в звездном скоплении, содержащем миллионы звезд. Просчитать их движение по отдельности невозможно, разве что на суперкомпьютерах. Но даже не зная индивидуальных траекторий и скоростей, мы всегда можем быть уверены, что полная и кинетическая энергии этой кучи звезд равны по модулю.
Рис. 2.17. Соотношение масс ракеты-носителя и ее полезной нагрузки. Ракета весом более 300 тонн создается только для того, чтобы маленький космический аппарат достиг устойчивой орбиты.
Раз уж речь зашла о космонавтике, я напоследок расскажу одну интересную вещь о том, каких трудов стоит развить первую космическую скорость. Вот космический корабль, на котором летают наши космонавты (рис. 2.17). Вес его 7 тонн, там сидят три человека — и их надо разогнать до скорости 8 км/с. Так вот, чтобы это сделать, приходится строить космический аппарат для одноразового использования весом более 300 тонн, и вся эта машина — только для того, чтобы маленький космический аппарат достиг устойчивой орбиты. А состоит ракета из металлической конструкции и топлива. Их соотношение такое: сухой вес ракеты — 26 тонн, а залитого в нее топлива — почти 280 тонн. Таким образом, 90 % веса ракеты на старте — это ее топливо! Легковой автомобиль, например, весит около 1,5 т, а топлива в его баке около 50 кг, т. е. топливо составляет всего лишь 3 % веса автомобиля. При этом ракета не только несет в себе колоссальный объем взрывоопасного вещества, но и работает в гораздо более напряженных условиях, чем автомобиль. Рядом с сотнями тонн ее «взрывчатки» пылает гигантский факел реактивных двигателей. А на вершине этой «бочки с порохом» сидят отважные люди, желающие покинуть планету. И им это, как правило, удается. Одним словом, современная космическая ракета — удивительное творение инженерной мысли.
3. Космонавтика
К антиподам: на спутнике или на метро?
Есть одна интересная задача, которую я традиционно предлагаю на экзамене. Пусть нам требуется послать груз или пассажиров из одной точки Земли в точку, ей противоположную (т. е. к антиподам, потому что с нашей точки зрения все там ходят вверх ногами, притягиваясь к центру Земли). Как это сделать быстрее?
Казалось бы, самый быстрый способ — лететь по круговой орбите спутника. С первой космической скоростью спутник облетает Землю за полтора часа, значит, мы можем прилететь к антиподам через 45 минут плюс время на разгон и торможение. Быстрее не получится: если мы добавим спутнику скорости, он пойдет по дальней орбите и лететь будет дольше. К тому же для реализации этого способа потребуется много денег: надо каждый раз сооружать огромную ракету, тратить очень много энергии на запуск.
Рис. 3.1. Схема «метро» сквозь земной шар.