хn+1 = kхn (1 — хn).
Иными словами, для данного начального условия х на интервале между 0 и 1 орбита х рассчитывается путем последовательного вычисления значений функции f(х) = kx (1 — х), где k — параметр, больший 1, но меньший 4. Поведение логистической системы, названной так потому, что она используется для моделирования динамики численности определенных популяций, удивительным образом зависит от значения k. Если k меньше некоторого критического значения, которое, по оценкам, составляет 3,569945…, то траектории будут иметь правильную форму. При превышении этого критического значения траектории будут стремиться к хаосу. Эта дискретная динамическая система четко показывает, что простые математические действия могут обладать неожиданно сложными свойствами.
Функция f(х) является функцией второй степени:
f(х) = kx (1 — х) = kx — kx2.
Иными словами, f(х) — нелинейная функция, и именно эта нелинейность делает возможным хаотическое поведение: в силу нелинейности небольшие отклонения начальных условий могут приводить к значительным изменениям.
Изучим динамику логистического отображения для значений k, меньших критического, к примеру для k = 2. Примем в качестве начального условия x0 = 0,8 и определим его орбиту с помощью калькулятора:
x1 = f(х0) = 2 х0(1 — х0) = 2∙0,8∙(1 — 0,8) = 2∙0,8∙0,2 = 0,32
х2 = f(х1) = 2х1(1 — х1) = 2∙0,32∙(1 — 0,32) = 2∙0,32∙0,68 = 0,4352
х3 = f(х2) = 2х2(1 — х2) = 2∙0,4352∙(1 — 0,4352) = 2∙0,4352∙0,5648 = 0,49160192.
Теперь, когда мы знаем, как рассчитываются первые члены орбиты, вычислим
следующие члены напрямую:
х4 = 0,4998589…
х5 = 0,4999998…
х6 = 0,4999999…
…
Обратите внимание на полученные значения. Что вы видите? Они последовательно приближаются к 0,5. Рассматриваемая траектория четко приближается к пределу — точечному аттрактору, расположенному в точке 0,5. Ради любопытства вычислим орбиту точки 0,5: так как f (0,5) = 2∙0,5∙(1 — 0,5) = 22424∙0,5∙0,5 = = 0,5, орбита этой точки будет стационарной (значения функции всегда будут равны 0,5). Следовательно, орбита точки 0,8 сходится к точке равновесия.
Рассмотрим, как наша траектория сходится к этой фиксированной точке, геометрически. Используем компьютерную программу, чтобы показать, как изменяются значения орбиты (представленные на вертикальной оси) с ростом числа итераций (откладываются на горизонтальной оси).
Нетрудно видеть, что значения орбиты очень быстро стабилизируются в окрестности точки 0,5, что мы уже вычислили при помощи калькулятора.
Далее будем изображать орбиту точки на так называемой диаграмме-паутине.
Построив график f(х) = 2х (1 — х) (он будет представлять собой параболу, так как f(х) — функция второй степени), рассмотрим начальное условие x0 = 0,8. Далее определим орбиту этой точки графически. Проведем вертикальную линию через точку с абсциссой x0 = 0,8 до пересечения с параболой — графиком функции f(x).
Затем из точки пересечения этой линии с параболой проведем горизонтальную линию до пересечения с диагональю у = х. Полученная абсцисса (координата на горизонтальной оси) будет указывать положение точки пересечения построенной линии с диагональю и будет соответствовать х1 Далее будем смещаться вертикально (вверх или вниз), пока вновь не пересечем график f(х). Повторив описанные выше действия, получим ломаную линию. Абсциссами ее вертикальных отрезков будут x0, х1, х2, х3. Эта ломаная линия укажет, куда будет стремиться орбита x0.
На этом графике можно видеть, как «паутина» точки x0 = 0,8 сходится к фиксированной точке, в которой пересекаются парабола — график функции f(х) — и прямая — график функции у = х. Как и следовало ожидать, этой фиксированной точкой будет точка 0,5.
Повторим описанные выше действия для другого значения параметра k. Примем его равным не 2, а 3,1. Орбита начальной точки x0 = 0,8 будет выглядеть так.