Рис. 12. Подобно огневой силе движущегося броневика, повышена сила F взаимодействия сближающихся со скоростью v зарядов за счёт выросшей скорости c'=c+v и частоты ударов реонов R.
Далее рассмотрим заряженную нить и возле неё в т. O заряд q. Сила отталкивания заряда от нити
F= qτ/2πε0r,
где τ — линейная плотность заряда нити, r — расстояние от заряда до нити, а ε0 — электрическая постоянная. Сила же взаимодействия заряда с малым участком нити M длиной dl, имеющим заряд τdl, даётся законом Кулона
F = qτdl/4πε0OM2.
Перпендикулярная нити составляющая этой силы выразится через углы φ и dφ как
Fу= qτcos(φ)dφ/4πε0r (Рис. 13).
Найдём, как изменится сила при движении заряда параллельно нити со скоростью v. По отношению к движущемуся заряду встречные реоны будут иметь скорость c΄ отличную от c за счёт векторного вычитания из c скорости v заряда. И направлена скорость c΄ реонов будет уже не вдоль MO, а вдоль M΄O (ту же природу имеет звёздная аберрация — отклонение световых лучей, вызванное движением Земли, § 1.9). Из треугольника скоростей OMM΄:
c΄= [c2+v2–2cvsin(φ)]1/2
или, разлагая в ряд и считая v/c малым, получим
c΄≈ с[1–sin(φ)v/c+(v/c)2cos2(φ)/2].
Соответственно меняется и сила:
F΄=F(c΄/c)2.
Но, поскольку сила меняет и направление (F΄ действует вдоль c΄), то интересующая нас составляющая Fу изменится в несколько меньшей степени:
Fу΄= Fу(c΄/c) = [1–sin(φ)v/c+ (v/c)2cos2(φ)/2]cos(φ)dφqτ/4πε0r.
Остаётся найти суммарную силу воздействия на заряд со стороны всех элементов нити, проинтегрировав Fу΄ в пределах φ от — π/2 до +π/2. В итоге, полная сила
Fу΄= (1+v2/3c2)qτ/2πε0r= qτ/2πε0r+v2qτ/6πε0rc2.
Первое слагаемое — это сила взаимодействия нити с покоящимся зарядом, а второе — это прибавка к ней, возникшая за счёт движения. Итак, движение заряда со скоростью v вдоль нити вызывает рост силы отталкивания (или притяжения) на величину v2qτ/6πε0rc2.
Рис. 13. Проекция F'y силы отталкивания заряда элементом длины dl бесконечной заряженной нити меняется при движении заряда пропорционально скорости c' реонов относительно него.
Этот результат имеет весьма важные последствия. Рассмотрим два параллельных проводника с сонаправленными токами. Поскольку ток в металле создаётся движением электронов, заменим каждый проводник движущейся отрицательно заряженной нитью (Рис. 14). У первой нити линейная плотность заряда — τ1 и скорость v1 (в проекции на ось x), а у второй, соответственно, — τ2 и v2. В целом каждый проводник нейтрален, поэтому добавим неподвижные положительно заряженные нити +τ1 и +τ2 (они соответствуют положительным и неподвижным ионам металла).
Рис. 14.Представление проводников с током (а) комбинациями из пар заряженных нитей (б) позволяет выразить амперову силу их притяжения как сумму сил электрического взаимодействия нитей.