СЛОЖНЫЙ ПРОЦЕНТ
Сложный процент начисляется исходя из ставки процента и суммы, накопленной на счете к началу очередного периода с учетом накопленного дохода. Такая схема соответствует случаю, когда доход от вклада периодически начисляется и выплачивается заемщиком, но не изымается кредитором, а остается у заемщика, увеличивая сумму займа.
Естественно, эта схема подвергает кредитора большему риску, соответственно он получает и большее вознаграждение.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Что такое процент?
2. Какая схема начисления соответствует случаю, когда доход от вклада периодически выплачивается заемщиком и тут же изымается кредитором?
18.2 ИЗМЕНЕНИЕ СТОИМОСТИ ДЕНЕГ ВО ВРЕМЕНИ
При размещении свободных средств в разные ценные бумаги инвестор стремится получить максимальную выгоду. Для того, чтобы выбрать оптимальный способ инвестирования, необходимо сравнить полученные доходы. Однако доходы могут поступать в разное время.
ПРИВЕДЕНИЕ ДЕНЕЖНЫХ ПОСТУПЛЕНИЙ К ОДНОМУ И ТОМУ ЖЕ МОМЕНТУ ВРЕМЕНИ
Естественным способом сравнивать денежные поступления в разные сроки является приведение их к одному и тому же моменту времени.
Как правило, в качестве такого момента выбирают или момент начала инвестиций, или некоторый фиксированный момент в будущем.
ДИСКОНТИРОВАНИЕ и НАРАЩЕНИЕ
Приведение денежных потоков к начальному моменту называется дисконтированием, а к моменту в будущем - наращением.
БУДУЩАЯ СТОИМОСТЬ
В Примере 2 общая сумма денежных средств на счете по окончании третьего года (1331) называется будущей стоимостью 1000 рублей, инвестированных на 3 года; по ставке 10%, начисляемых ежегодно; при условии реинвестирования процента.
ТЕКУЩАЯ СТОИМОСТЬ
Изначальная стоимость инвестиции 1000 рублей называется текущей стоимостью 1331 рубля, которые будут выплачены (или получены) через 3 года; исходя из ставки 10%, начисляемых ежегодно; при условии реинвестирования.
Расчет, как мы помним, производился следующим образом:
1000 х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) х (1 + 0,1) = 1000 х (1,1)3
При начислении сложного процента мы находим будущую стоимость путем умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления в долях единицы) столько раз, сколько начислялся процент. Теперь мы можем вывести формулу для расчета будущей стоимости денег, инвестированных на определенный срок под определенный процент с условием реинвестирования процента.
Формула для расчета по схеме сложного процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + r)n, (3)
где
FV - будущая стоимость (future value),
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании) (present value),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы (rate),
n - число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ НАРАЩЕНИЯ
Выражение (1 + r)n называется коэффициентом наращения.
Расчет будущей стоимости при использовании формулы сложного процента называется наращением.
Расчет будущей стоимости в Примере 1, как мы помним, производился следующим образом:
1000 + 1000 х 0,1 +1000 х 0,1+1000 х 0,1 = 1000 х (1+0,1 х 3)
При начислении простого процента мы находим будущую стоимость путем умножения текущей стоимости на (1+ ставка процента в периоде начисления в долях единицы, умноженная на количество периодов начисления).
Формула для расчета по схеме простого процента имеет следующий вид:
FV = PV х (1 + n r), (4)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы,
n- число периодов начисления.
В случае одного периода (n = 1) формулы (3) и (4) совпадают, т. к. в случае одного временного интервала реинвестирования не происходит и условия заимствования фактически совпадают:
FV = PV х (1+г)
Дисконтирование - это расчет, обратный наращению. При дисконтировании мы узнаем, сколько сейчас (в момент расчета) стоит известная в будущем стоимость денег. Этот пересчет к настоящему моменту позволит сравнивать разные суммы в разные времена. Таким образом, при дисконтировании мы находим текущую стоимость путем деления известной будущей стоимости на (1 + ставка процента) столько раз, на сколько раз начисляется процент.
(5)
где
FV - будущая стоимость,
PV - текущая стоимость (первоначальная стоимость на момент инвестирования = основная сумма вклада при первоначальном инвестировании),
r - ставка процента в периоде начисления в долях единицы, n- число периодов начисления.
КОЭФФИЦИЕНТ ДИСКОНТИРОВАНИЯ
Выражение ИЛИ
называется коэффициентом дисконтирования. Он равен величине, обратной величине коэффициента наращения.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как называется расчет, результатом которого является приведение денежных потоков к начальному моменту времени?
2. Как называется коэффициент, обратный коэффициенту дисконтирования?
18.3 РАСЧЕТ ГОДОВЫХ СТАВОК ПРОЦЕНТА
Очевидно, что при одинаковых условиях (одинаковый срок, простой или сложный процент) выгоднее та инвестиция, у которой выше процентная ставка. Однако зачастую сроки инвестиций и периоды выплат по ним не совпадают. В этом случае для того, чтобы сравнивать инвестиции, необходимо рассчитывать их процентные ставки, приведенные к одному и тому же временному периоду. Как правило, в качестве такого периода выбирается год.
Пример 3
Сравнить, какой из банковских вкладов выгоднее:
а) вложение 1000 рублей в банк на месяц под 3% в месяц;
б) вложение 500 рублей в банк на 6 месяцев под 12% за полгода.
Можно вычислить, каков доход в процентном выражении за месяц во втором случае, и сравнить с уже данным показателем в первом случае. Однако традиционно в качестве такого периода берется один год.
При этом говорят, что ставка составляет Х процентов годовых.
Вычисление ставки в годовом исчислении можно производить по формуле простого или сложного процента.
Пример 4
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют 2% от первоначальной суммы вклада. Найти годовую ставку процента.
Процентную ставку в периоде начисления умножают на число периодов в году:
Годовая ставка процента = г х n = 2% х 4 квартала = 8% годовых
Пример 5
Вклад в банке дает 1% за 14 дней. Найти годовую ставку процента.
Годовая ставка процента (1% х 365 дней) / 14 дней = 26% годовых
ГОДОВАЯ СТАВКА ПРОЦЕНТА , РАСЧИТАННАЯ ПО ФОРМУЛЕ ПРОСТОГО ПРОЦЕНТА
В общем случае годовая процентная ставка без учета реинвестирования вычисляется из формулы (4) простого процента:
FV = PV х (1 + nr),
откуда годовая ставка процента (6)
ГОДОВАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ВЫЧИСЛЕННАЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА
Если мы используем формулу сложного процента, то на единицу вложений годовая процентная ставка (r годовая) составит (1 + процентная ставка в периоде начисления в долях единицы (r) ), возведенная в степень, равную числу периодов начисления (n), минус единица:
rгодовая = (1 + r)n - 1.
Пример 6
По банковскому вкладу ежеквартально начисляют доход 2% от первоначальной суммы вклада. Найти ставку процента (в годовых) с учетом реинвестирования полученного дохода.
rгодовая = (1 + 0,02)4 - 1 = 1,082432 - 1 = 0,0824.
Сравнивая результат примеров 1 и 3, можно сделать вывод, что при прочих равных условиях инвестирования годовая процентная ставка с учетом реинвестирования выше.
В общем случае годовая процентная ставка с учетом реинвестирования вычисляется из формулы (3) сложного процента: FV = PV x (1 + r)n откуда годовая процентная ставка
(7)
ПРИВЕДЕНИЕ ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК К ОДНОМУ ВРЕМЕННОМУ ПЕРИОДУ
С учетом необходимости приведения процентных ставок к одному временному периоду их общие формулы расчета видоизменяются в зависимости от того, в каких единицах (днях, месяцах, кварталах) выражен период инвестирования.
Например, если период инвестирования выражен в днях, то число периодов n = 365/X, где X - число дней. По формуле (6) процентная ставка равна:
По формуле (7) процентная ставка равна:
Будучи рассчитана на основе одного временного периода (т. е. n = 1), формула приобретает совсем простой вид:
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием сложного процента?
2. Как вычисляется годовая процентная ставка с использованием простого процента?
18.4 ПОНЯТИЕ О ДИСКОНТИРОВАНИИ ДЕНЕЖНЫХ ПОТОКОВ
Под денежными потоками (для целей настоящей главы) мы понимаем доходы (выплаты), получаемые в разное время инвестором от инвестиций в денежной форме.