r3 (S2 ∪ S1) — это просто результат внутреннего соединения отношений r1(S1) и r2(S2). Левое внешнее соединение является производной операцией именно от операции внутреннего соединения, поэтому мы и начинаем наши построения с нее;
2) r4(S1) ≔ r3(S2∪S1) [S1];
Таким образом, с помощью унарной операции проекции, мы выделили все соединимые кортежи левого исходного отношения-операнда r1(S1). Результат обозначили r4(S1) для удобства применения;
3) r5 (S1) ≔ r1(S1) \ r4(S1);
Здесь r1(S1) — все кортежи левого исходного отношения-операнда, а r4(S1) – его же кортежи, только соединимые. Таким образом, при помощи бинарной операции разности, в отношении r5(S1) у нас получились все несоединимые кортежи левого отношения-операнда;
4) r6(S2)≔ {∅(S2)};
{∅(S2)} — это новое отношение со схемой (S2), содержащее всего один кортеж, причем составленный из Null-значений. Для удобства мы обозначили это отношение r6(S2);
5) r7 (S2 ∪ S1) ≔ r5(S1) × r6(S2);
Здесь мы взяли полученные в пункте три, несоединимые кортежи левого отношения-операнда (r5(S1)) и дополнили их на схеме второго отношения-операнда S2 Null-значениями, т. е. декартово умножили отношение, состоящее из этих самых несоединимых кортежей на отношение r6(S2), определенное в пункте четыре;
6) r1(S1) →× P r2(S2) ≔ (r1 × Pr2) ∪ r7 (S2 ∪ S1);
Это и есть левое внешнее соединение, полученное, как можно видеть, объединением декартового произведения исходных отношений-операндов r1 и r2 и отношения r7 (S2∪ S1), определенного в пункте пятом.
Теперь у нас имеются все необходимые выкладки для определения не только операции левого внешнего соединения, но по аналогии и для определения операции правого внешнего соединения. Итак:
1) операция левого внешнего соединения в строгом формулярном виде выглядит следующим образом:
r1(S1) →× Pr2(S2) ≔ (r1 × Pr2) ∪ [(r1 \ (r1 × Pr2) [S1]) × {∅(S2)}];
2) операция правого внешнего соединения определяется подобным образом операции левого внешнего соединения и имеет следующий вид:
r1(S1) →× Pr2(S2) ≔ (r1 × Pr2) ∪ [(r2 \ (r1 × Pr2) [S2]) × {∅(S1)}];
Эти две производные операции имеют всего два свойства, достойные упоминания.
1. Свойство коммутативности:
1) для операции левого внешнего соединения:
r1(S1) →× Pr2(S2) ≠ r2(S2) →× Pr1(S1);
2) для операции правого внешнего соединения:
r1(S1) ←× Pr2(S2) ≠ r2(S2) ←× Pr1(S1)
Итак, мы видим, что свойство коммутативности не выполняется для этих операций в общем виде, но при этом операции левого и правого внешнего соединения взаимно обратны друг другу, т. е. выполняется:
1) для операции левого внешнего соединения:
r1(S1) →× Pr2(S2) = r2(S2) →× Pr1(S1);
2) для операции правого внешнего соединения:
r1(S1) ←× Pr2(S2) = r2(S2) ←× Pr1(S1).
2. Основным свойством операций левого и правого внешнего соединения является то, что они позволяют восстановить исходное отношение-операнд по конечному результату той или иной операции соединения, т. е. выполняются:
1) для операции левого внешнего соединения:
r1(S1) = (r1 →× Pr2) [S1];
2) для операции правого внешнего соединения:
r2(S2) = (r1 ←× Pr2) [S2].
Таким образом, мы видим, что первое исходное отношение-операнд можно восстановить из результата операции левого правого соединения, а если конкретнее, то применением к результату этого соединения (r1 × r2) унарной операции проекции на схему S1, [S1].
И аналогично второе исходное отношение-операнд можно восстановить применением к результату операции правого внешнего соединения (r1 × r2) унарной операции проекции на схему отношения S2.
Приведем пример для более подробного рассмотрения работы операций левого и правого внешних соединений. Введем уже знакомые нам отношения r1(S1) и r2(S2) с различными схемами отношения:
r1(S1):
r2(S2):
Несоединимый кортеж левого отношения-операнда r2(S2) – это кортеж {d, 4}. Следуя определению, именно им следует дополнить результат внутреннего соединения двух исходных отношений-операндов.
Условие внутреннего соединения отношений r1(S1) и r2(S2) также оставим прежнее: P = (b1 = b2). Тогда результатом операции левого внешнего соединения будет следующая таблица:
r1(S1) →× Pr2(S2):
Действительно, как мы можем видеть, в результате воздействия операции левого внешнего соединения, произошло пополнение результата операции внутреннего соединения несоединимыми кортежами левого, т. е. в нашем случае первого отношения-операнда. Пополнение кортежа на схеме второго (правого) исходного отношения-операнда по определению произошло при помощи Null-значений.