В первом случае моя поверхность — наверняка плоскость. Во втором — седло или какой-нибудь граммофонный раструб. В третьем — сфера либо что-нибудь вроде яичной скорлупы.
Вот смотрите сами:
При взгляде «со стороны» лишь для плоскости оправдалось как будто название «прямая» в применении к кратчайшей линии. На непрямых же поверхностях кратчайшие расстояния отмерились по кривым. Вслед за геометрами я называю их геодезическими (сюда относятся, например, экватор и меридианы глобуса, а параллели не относятся: не по ним отмериваются на земном шаре кратчайшие расстояния).
Я все еще блин. Побывал на сфере и седле, теперь переведен на плоскость. Хлопочу о возврате высоты и объема, но пока безуспешно. И от нечего делать занимаюсь геометрией. Это тем более любопытно, что мне на плоскость прислали два отличных инструмента — транспортир и мерную рулетку. Могу измерять длины и углы (по-прежнему — мгновенно, то есть в рамках классической физики).
Отправной пункт моих рассуждений — тот самый постулат о единственности прямой, не пересекающейся с данной прямой, по которому без всяких доказательств устанавливается, что поверхность — плоскость. В давние времена великий греческий геометр Евклид вывел из этого постулата всю геометрию плоскости — планиметрию.
Следом за Евклидом я строю углы, треугольники, квадраты, делаю всевозможные отсчеты, доказываю теоремы. Постепенно я убеждаюсь, что на плоскости действует строгая система правил измерения расстояний. Геометры называют эти правила метрикой.
Метрические теоремы — не новинка для любого восьмиклассника. Главная из них — теорема Пифагора, знаменитые в поколениях школяров всех стран и наций «пифагоровы штаны». Теорема утверждает: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов меньших сторон (катетов а и b) обязательно равна квадрату большей стороны (гипотенузы S):
S2 = а2 +b2
Я, блин, горжусь, что сумел процитировать эту формулу по памяти, не заглядывая в учебник.
Кроме теоремы Пифагора, предметом моей гордости служит доказательство еще одного важного утверждения из школьной программы: в любом треугольнике сумма углов строго равна двум прямым. Ни больше ни меньше. Надеюсь, и эту теорему вы не забыли.
Один рассеянный ученик по ошибке принес на урок геометрии вместо тетради футбольный мяч. Пришлось ему на мяче чертить всевозможные чертежи. Но вышла незадача: углы треугольников никак не складывались в два прямых. Выходило больше. А когда задали задачку на теорему Пифагора, ученик-футболист аккуратно составил из геодезических линий прямоугольный треугольник, измерил стороны, сложил квадраты катетов — и получилось больше, чем квадрат гипотенузы! «Пифагоровы штаны» оказались велики для футбольного мяча.
Примечательный случай произошел также с одним бравым ковбоем. Он воспылал симпатией к геометрии, но вместо тетради делал построения на лошадином седле. Тут сумма углов треугольника получилась меньше двух прямых, сумма же квадратов катетов — меньше квадрата гипотенузы. На седло «пифагоровы штаны» не натянулись. Они для седла малы.
Почему же? Разве теорема Пифагора не везде справедлива? И теорема о сумме углов треугольника тоже не универсальна?
Да, это так. Метрические правила неодинаковы на поверхностях разной кривизны. Они ведь выводятся из первоначального постулата о пересечении геодезических линий. На сфере, на седле, на плоскости эти линии пересекаются по-разному — отсюда разные суммы углов треугольников и усложненные (геометры говорят — обобщенные) варианты теоремы Пифагора.
На плоскости — проще всего. Там все точно по Евклиду. А поэтому строгое соблюдение школьных теорем — верный признак плоскости. Какие треугольники ни строй, всегда сумма углов равна двум прямым.
Какие прямоугольные треугольники ни приставляй к расстоянию, всегда соблюдается равенство квадрата гипотенузы сумме квадратов катетов.
Жаль, что, будучи блином, я сразу не захватил с собой рулетку и транспортир. Имея их, я не возился бы с пересечением геодезических, когда определял, какова моя поверхность. Не ползал бы, не уставал. Начертил бы треугольник, посчитал бы сумму углов, вышло два прямых — значит, моя поверхность плоская. Или сделал бы проверку по теореме Пифагора. Совпала сумма квадратов катетов с квадратом гипотенузы — есть доказательство плоскости.