Будь моя поверхность неплоская, вышло бы как у геометра-футболиста и геометра-ковбоя. Сумма квадратов катетов больше квадрата гипотенузы («пифагоровы штаны» велики) — значит, я на шаре. Сумма квадратов катетов меньше квадрата гипотенузы («пифагоровы штаны» малы) — значит, я на седле. Аналогично с суммой углов треугольника. Больше она двух прямых — треугольник начерчен на сфере, меньше — на седле.
Надеюсь, сказанное до сих пор не внушило вам недоверия. Пока шли разговоры о поверхностях, ничуть не удивительно, что их кривизна связана с метрикой. Это — как резиновая игрушка «уйди-уйди». Вообразите, что тетрадная страничка с геометрическими чертежами тоже резиновая, раздуйте ее в пузырь, натяните на седло или бублик — размеры углов и длин на чертежах тотчас станут другими. Ничего странного[15].
Но через эти простые вещи мы с вами подходим к неизбежности труднейшего логического скачка — с кривой поверхности в кривое пространство. К определению его кривизны изнутри, без оценок «со стороны».
Глава 22. ВДОЛЬ ПРОСТРАНСТВА
Я уже не блин. Мне возвращена высота. Я покинул мир тесных, бесконечно тонких площадей, живу, как и вы, в объеме, в глубоком, раздольном пространстве. Хорошо! Есть где развернуться! Можно не только ползать, но и прыгать и летать. Это очень приятно.
Но мне не до развлечений. В бытность блином я привык беспрерывно исследовать кривизну своего мира, и теперь меня тянет заняться тем же в пространстве.
Прежде всего я намереваюсь придумать способ облачения пустоты в «пифагоровы штаны» и примерки к ней «треугольной шляпы».
Как это сделать?
Вот легонькая задачка из школьной стереометрии.
От моего окна (на пятом этаже) до газетного киоска на противоположной стороне улицы «напрямую» S метров. По тротуару от моего дома с метров, b — ширина улицы, а — высоты моего окна. Требуется найти S, не мешая уличному движению — не протягивая из окна к киоску туго натянутой веревки, а вычислив это расстояние через a, b и с.
Решение наипростейшее: считаем, что стена дома составляет прямой угол с поверхностью тротуара, что переход через улицу перпендикулярен к ней самой, пренебрегаем кривизной земной поверхности и дважды применяем теорему Пифагора. Так добываем формулу:
S2 = а2 + b2 + с2.
Вышло очень похоже на теорему Пифагора, но уже не для плоскости, а для пространства. Для кратчайшего расстояния S, прокладываемого «через пустоту».
Разумеется, a, b и с можно менять, можно строить около расстояния S самые разнообразные прямоугольные треугольники. И по традиционной школьной геометрии квадрат расстояния во всех случаях будет равен сумме квадратов его трех взаимно перпендикулярных координатных отсчетов. Поэтому выражение теоремы Пифагора считается главным инвариантом евклидовой геометрии.
Очень хорошо. От метрики плоскости мы шагнули к метрике пространства. Но вот существенная тонкость.
Наше решение выглядит непогрешимым и единственно возможным. Однако оно предполагает самоочевидное, как кажется, условие: в пространстве существуют плоскости. Именно поэтому мы считали себя вправе дважды применить плоскую теорему Пифагора (она, как говорилось, годится в этом простейшем виде лишь для плоскостей).
На том же условии нетрудно доказать и другую теорему — о том, что не только в плоских, но и пространственных треугольниках сумма углов составляет два прямых. Раз уж, согласно Евклиду, через любые три точки пространства можно провести плоскость, то и любой пространственный треугольник обязан быть плоским. Но так ли обстоит дело в действительности? Будут ли впору «прямые» штаны и «прямая» шляпа реальному пространству?
Что ж, из всего этого следует как будто немудрящий рецепт облачения пустоты в «пифагоровы штаны» и «треугольную шляпу». Надо проделать измерения длин и углов в реальных пространственных треугольниках. И таким способом «испытать пространство на кривизну».
Ночью, чтобы не мешать уличному движению, я протягиваю веревку из своего окна к далекому киоску. Тщательно измеряю расстояние S. Столь же точно измеряю длины а, b и с. Возвожу их в квадрат, складываю, сравниваю. Вышло подтверждение формулы
S2 = а2 + b2 + с2 — значит, в пространстве можно провести плоскости и прямые, значит, пространство плоское, евклидово.
Или так. Еду на Кавказ. Стягиваю тугими канатами три горные вершины. Измеряю в этом треугольнике углы, складываю их. Получилось в сумме два прямых — есть еще одно доказательство того, что пространство плоское.
15
Мимоходом стоит заметить, что любую поверхность можно деформировать и без изменения законов пересечения геодезических линий, а значит, без изменений метрики. Сложите тетрадный лист, скомкайте его, сверните в трубочку — во всех чертежах расстояния и углы останутся прежними. Чтобы «изнутри» отличить цилиндр от плоскости, потребуются другие соображения. Например, на цилиндре любая геодезическая (кроме образующей) замкнута — либо эллипс, либо круг. Об этой тонкости не надо забывать, но она — лишь частный случай.