Обоснование представляет собой выведение доказываемого предложения из посылок, которыми являются фундаментальные истины. Любой другой способ доказательства Больцано называет удостоверением истины (21, 4, 261). Очевидно, что под обоснованием он имеет в виду аксиоматически-дедуктивный метод. Чешского философа можно считать одним из основателей современного учения об аксиоматическом методе.
Во времена Больцано образцом применения этого метода считали «Начала» Евклида. Еще в своих ранних математических работах Больцано указывает недостатки евклидовской аксиоматики.
Он даже написал произведение под характерным названием «Анти-Евклид» (оно было утеряно). Развивая идеи Декарта и Лейбница, чешский мыслитель рассматривает аксиоматический метод в качестве универсального научного метода. В этом его отличие прежде всего от Канта. Последний пытается строго отделить метод математики от метода философии, или метафизики. Метод философии является, по его мнению, аналитическим, математики — синтетическим. Отношения между математическими понятиями всегда наблюдаемы, в ней оперируют наглядными символами, в философии наблюдаемость невозможна. В основании необходимых суждений математики лежит априорное, или чистое, созерцание пространства и времени. Простейшая формула «7+5=12» является априорным синтетическим суждением, полученным на основе действия чистого созерцания времени. Больцано убежден в неправомерности такого разделения доказательств в философии и математике. «Незначительно еще число философов в наши дни, — пишет он, — чье математическое знание простиралось бы дальше положения, что А равно А. Еще меньше число математиков, готовых признать, что их собственная наука может быть поднята на более высокую ступень совершенства при помощи философии, и которые согласились бы, что их наука выиграла бы, если бы удалось многие встречающиеся в ней понятия, оставляемые без всякого объяснения, как общеизвестные, разложить на их составные части и множество положений, рассматриваемых либо без доказательства, либо как очевидные, вывести из их объективных оснований, т. е. из некоторых чистых понятийных истин, которые намного более общи, чем они» (цит. по: 82, 71). Стремление создать общенаучный логический метод, пригодный и для математики, и для других дисциплин, и явилось причиной написания «Наукоучения». Согласно Больцано, «метод математики по своей сущности ни в малейшей степени не отличается от любой научной процедуры… Обсуждение математического метода является в своей основе не чем иным, как логикой, и к самой математике не относится» (16, 30).
Больцано высказывает ряд ценных идей по обоснованию и структуре аксиоматического метода. Одним из первых в истории математики, логики и философии он указывает на ошибочность и недостаточность психологического, основанного на наглядности, интуиции, математического и логического доказательств. Когда математический анализ делал первые шаги, против него с позиций психологизма и субъективного идеализма ополчился Беркли. Бесконечно малые величины, утверждал он, должны быть выброшены из математики как фикции. Того, что мы не в состоянии воспринять, не существует. На очевидность, интуицию, правда другого рода — интеллектуальную интуицию, ссылается как на средство обоснования и Декарт. Больцано показывает, что ссылка на любого рода очевидность, созерцание не может служить доказательством в научном исследовании. В небольшой самой ранней работе «Размышления о некоторых предметах элементарной геометрии» (1804) он говорит: «Прежде всего я поставил себе за правило, что никакая очевидность предложения не заставит меня считать себя свободным от обязанности добавочно искать доказательств для него до тех пор, пока я ясно не увижу, почему нельзя требовать никакого доказательства» (цит. по: 24, 40). Особенно резко выступает чешский философ против кантианской философии математики, основанной на признании априорности созерцаний времени и пространства. Предложение «7+5=12», рассматриваемое Кантом как пример априорного и синтетического суждения в математике, Больцано считает аналитическим предложением. Он стремится доказать, что сумма двух чисел получается путем чисто логической операции, без обращения за помощью к наглядности. Нелепо утверждать, что поскольку мы при сложении постепенно добавляем друг к другу единицы чисел 5 и 7, то необходимо созерцание времени. Это все равно, как если бы мы ссылались на созерцание в логической операции «сорит», где к последнему заключению приходят постепенно, шаг за шагом (см. 21, 3, 185–186. 27, 82). Субъективные условия познания не должны смешиваться с объективным его основанием. Каждое предложение в сознании имеет определенную степень ясности и отчетливости, объективный же смысл предложения не имеет этих свойств и не зависит от них. Защищая от психологизма и субъективизма основополагающие понятия математического анализа, Больцано пишет в «Парадоксах бесконечного»: «Вопрос о том, конечно ли что-нибудь или бесконечно, не может зависеть от того, имеет ли предмет, о котором идет речь, такую величину, которую мы можем воспринимать (например, от того, можем ли мы его обозревать или нет)». «Конечное и бесконечное относятся к известным внутренним свойствам предметов и никоим образом не касаются только отношений их к нашей познавательной способности, даже к нашим чувствам» (8, 7; 17).