Эти плодотворные методологические идеи, развиваемые Больцано на основе обобщения опыта математических исследований, помогли ему сделать ряд открытий в математике. Так, ученый, справедливо указывая на недостаточное обоснование в его время понятия дифференциала, сам подходит к правильному его истолкованию. Дифференциал рассматривается им как символическое выражение, подобное выражению «√—1». Метод, который использует только символические средства, является, по Больцано, логически допустимым и правильным (см. 16, 26). К сожалению, сам ученый не всегда следует собственным установкам. Полностью освободиться от смешения формального и содержательного в логике Больцано мешало отсутствие подходящей символики.
Выдающимся в философии математики и науки было открытие Больцано недифференцируемых функций, или, говоря языком геометрии, кривых, не имеющих ни в одной точке касательных. Это открытие ранее приписывалось известному немецкому математику Вейерштрассу, но выяснилось, что значительно раньше его оно было сделано чешским мыслителем. Открытие недифференцируемых функций наряду с открытием неевклидовых геометрий знаменует начало нового периода в развитии математики и в разработке гносеологических проблем науки. Н. Бурбаки[3] замечает, что с исследования кривых без касательных, построенных Больцано и Вейерштрассом, «началась вся патология в математике» (см. 36, 27). Интуиция в той форме, в какой она понималась Декартом, с одной стороны, и Кантом — с другой, оказалась полностью дискредитированной как средство доказательства и критерий достоверности. Начинается этап формализации математики. Закладываются основы аксиоматически-дедуктивного построения математических дисциплин. Больцано одним из первых разрабатывает аксиоматический метод как общенаучную, логическую процедуру. Положение о не-наглядности понятийного знания становится у чешского философа основополагающим, и он стремится подкрепить его онтологическими соображениями. Так, он пишет: «Заключение от невосприятия к несуществованию получается при нежелании допустить, что все конечные субстанции подлежат никогда не прекращающемуся изменению», а «представить себе в чувственном образе, что каждое, даже самое короткое, мгновение, как, например, один миг, заключает уже бесконечное множество целых промежутков времени, — это задача, конечно, трудная для нашего воображения. Довольно и того, что мы понимаем это умом и признаем, что иначе оно и не может быть…» (8, 73; 100). Гносеологические установки рационализма XVII–XVIII столетий используются Больцано как важнейшее методологическое средство. Уместно в этой связи напомнить слова В. И. Ленина: «Представление не может схватить движения в целом, например, не схватывает движения с быстротой 300000 км. в 1 секунду, а мышление схватывает и должно схватить» (7, 209). Но Больцано, как и все рационалисты, недооценивает роль эмпирического, чувственного познания, познания, связанного с экспериментом, а поэтому умаляет и значение наглядности. Несмотря на то что теоретическое познание лишено наглядности, носит нечувственный характер, оно сохраняет определенную генетическую зависимость от восприятия и, кроме того, выражено в чувственной форме речи, знаков и т. д., служащих необходимой формой бытия знания. Это обстоятельство игнорируется чешским мыслителем. Предложения- и истины-в-себе, по его мнению, имеются помимо существования и функционирования языка. Следует сказать, что проблема так называемой интеллектуальной интуиции, которую ставит рационализм, по существу снимается в философии Больцано, поэтому совершенно беспочвенны утверждения о чешском мыслителе как об интуитивисте (см. 48, 416).
3
Под таким псевдонимом в 30-х гг. выступала группа французских математиков, которая сыграла одну из ведущих ролей в разработке теоретических основ математики.