Обратимся к древней и очень известной задаче о квадратуре круга, впервые сформулированной древнегреческими геометрами в V веке до н.э. Она состоит в том, чтобы при помощи линейки без делений и циркуля построить квадрат с той же площадью, как у заданной окружности.
Линейка в те времена была обычным прямоугольником для рисования отрезков, на ней не было никаких делений. Ограничительные условия этой задачи свойственны всей древнегреческой геометрии, и происходили они от элитарного представления о науке: измерениями занимались «низшие классы» — купцы и ремесленники, — а геометры и философы работали с идеальными фигурами и понятиями, не опускаясь до «второстепенного» и используя инструменты, годные для создания «чистых» фигур (прямых и окружностей) без их измерения.
В течение веков было сделано множество попыток получить квадратуру круга, но ни одна из них не увенчалась успехом. Никто не был в состоянии найти решение этой задачи; с другой стороны, не было доказано, что решение невозможно.
Если r — это радиус окружности, то ее площадь рассчитывается как πr2. Пусть вас не удивляет, что число π связано с этой задачей. Действительно, мы можем доказать, что задача вычислить квадратуру круга эквивалентна другой: взяв за единицу измерения любой отрезок, построить при помощи линейки без делений другой отрезок, длина которого равнялась бы π раз этой единице. Другими словами, построить отрезок длины π.
То, что эти задачи эквивалентны, означает: если допустимо построить отрезок длины π, то можно построить и квадратуру круга, и наоборот. Если же одно из этих построений неосуществимо, то неосуществимо и другое. Первый важный шаг в решении этой задачи был сделан в XVIII веке, когда доказали, что для того чтобы построить отрезок с помощью линейки и циркуля, его длина должна соответствовать алгебраическому числу. Точное определение алгебраического числа слишком сложное, достаточно сказать, что таким называется число, являющееся решением уравнения определенного типа (такого, в котором задействованы целые числа). К тому же не все алгебраические числа могут быть найдены с помощью циркуля и линейки, а только отвечающие определенным требованиям.
Числа, не являющиеся алгебраическими, получили название «трансцендентных». В начале XIX века этот термин считался сугубо теоретическим, поскольку хотя и было известно, что все рациональные числа являются алгебраическими (как и некоторые иррациональные, например √2), существование трансцендентных чисел еще не стало фактом. В частности, предстояло установить, является π алгебраическим или трансцендентным числом.
Первое трансцендентное число нашел французский математик Жозеф Лиувилль (1809-1882) в 1844 году. Сейчас его называют постоянной Лиувилля. Оно начинается с 0,11000100 0000000000000001000... (первая 1 стоит на первом месте после запятой, вторая на месте 1-2 = 2, третья на месте 1 · 2 · 3 = 6 и так далее). Лиувилль обнаружил также еще несколько трансцендентных чисел, похожих на это. В 1873 году другой математик, Шарль Эрмит (1822-1901), открыл, что трансцендентным является число е (основание натуральных логарифмов).
В статье 1874 года Кантор тоже внес большой вклад в эту область, косвенно доказав, что любой отрезок числовой оси содержит бесконечное количество трансцендентных чисел.
Каким образом? Усовершенствовав метод, позволяющий показать, что рациональные числа могут организоваться в последовательность, Кантор доказал, что и множество алгебраических чисел, содержащихся в любом отрезке числовой оси, может быть представлено в виде последовательности. Вещественные числа, расположенные на том же самом отрезке, напротив, последовательностью быть не могут. Это означает, что два этих множества не могут быть одинаковыми, так как одно обладает свойством, отсутствующим у другого. Следовательно, на произвольном отрезке числовой оси все числа не могут быть алгебраическими, но не могут не быть трансцендентными. Таким образом, на каждом отрезке числовой оси есть трансцендентные числа, а на всей прямой — бесконечное количество трансцендентных чисел. Доказательство было непрямым, поэтому отметим: из рассуждений Кантора следует, что существует бесконечное количество трансцендентных чисел, хотя ученый и не привел ни одного конкретного примера.
Если бы Луивилль и Эрмит не обнародовали свои открытия, едва совершив их, то в 1874 году не было бы известно ни одного трансцендентного числа, и Кантор доказал бы существование бесконечного количества чисел неизвестного рода. Нужно отметить, что в тот момент некоторые математики отнеслись к ним с большим скепсисом. Что же произошло с числом π? В 1882 году немецкий математик Карл Луис Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) доказал, что число π тоже является трансцендентным, и положил таким образом конец поискам квадратуры круга: стало ясно, что эта задача не может быть решена.